ФМШ МИЭМ из 7 в 8 класс 2018 год

ФМШ МИЭМ

2018 год

Вариант ФМШ 2018-II-08-1

1. Решите уравнение: \[ \frac{|x| + \tfrac{x + |x|}{2}}{2} + x - \frac{x}{\tfrac{|x|}{2 - x}} - |x| = 1. \]
2. Что такое геометрическая фигура? Является ли точка геометрической фигурой? Является ли пересечение геометрических фигур геометрической фигурой? Ответы обосновать.
3. Вася бежит в школу в 2 раза быстрее Светы. Но если он по пути встретит Петю, то вместе они пойдут в 4 раза медленнее бегущей Светы. Расстояние от дома Васи до школы в 2 раза меньше, чем от дома Светы до школы. Какую часть пути Вася пробежал до встречи с Петей, если он и Света выбежали из дома в одно время и подошли/прибежали к школе также одновременно?
4. Найдите 2 числа, первое из которых в 2 раза меньше удвоенной трети второго числа, от которого отняли 1, а второе в 3 раза больше утроенной четверти первого числа, к которой прибавили 2.
5. В равнобедренный треугольник вписан другой треугольник таким образом, что его вершины лежат на серединах сторон исходного треугольника. Как соотносятся площади данных треугольников? Как может измениться соотношение площадей, если исходный треугольник будет не равнобедренным, а произвольным?
6. Изобразите на координатной плоскости множество всех точек, координаты которых являются противоположными числами, разность которых лежит между числом, делящимся без остатка на 3, и числом, на единицу его большим.
7. Сколько существует натуральных чисел, не превышающих 10000, которые делятся на 102, но не делятся ни на 14, ни на 15? Ответ обосновать.

Решения задач

1. Решите уравнение: \[ \frac{|x| + \tfrac{x + |x|}{2}}{2} + x - \frac{x}{\tfrac{|x|}{2 - x}} - |x| = 1. \] Решение: Рассмотрим случаи для знака \( x \).
   
   Случай 1: \( x \geq 0 \)
   Тогда \( |x| = x \). Упростим выражения: \[ \frac{x + \tfrac{x + x}{2}}{2} + x - \frac{x}{\tfrac{x}{2 - x}} - x = \frac{x + x}{2} + x - \frac{x(2 - x)}{x} - x = \frac{2x}{2} + x - (2 - x) - x = x + x - 2 + x - x = x - 2 \] Уравнение принимает вид: \[ x - 2 = 1 \Rightarrow x = 3 \] Проверка при \( x = 3 \): Левая часть уравнения после подстановки равна \( 3 - 2 = 1 \). Решение верно.
   
   Случай 2: \( x < 0 \)
   Тогда \( |x| = -x \). Упростим выражения: \[ \frac{-x + \tfrac{x - x}{2}}{2} + x - \frac{x}{\tfrac{-x}{2 - x}} - (-x) = \frac{-x + 0}{2} + x - \frac{x(2 - x)}{-x} + x = \frac{-x}{2} + x + (2 - x) + x = \frac{-x}{2} + 2x + 2 - x = \frac{x}{2} + 2 \] Уравнение принимает вид: \[ \frac{x}{2} + 2 = 1 \Rightarrow \frac{x}{2} = -1 \Rightarrow x = -2 \] Проверка при \( x = -2 \): Левая часть уравнения после подстановки равна \( \frac{-2}{2} + 2 = -1 + 2 = 1 \). Решение верно.
   
   Ответ: \( 3 \) и \( -2 \).
   
   
2. Что такое геометрическая фигура? Является ли точка геометрической фигурой? Является ли пересечение геометрических фигур геометрической фигурой? Ответы обосновать.
   Решение:
   Геометрическая фигура — множество точек на плоскости или в пространстве.
   Точка, как множество, состоящее из одного элемента, является геометрической фигурой.
   Пересечение геометрических фигур представляет собой множество точек, принадлежащих одновременно всем рассматриваемым фигурам, что удовлетворяет определению геометрической фигуры.
   Ответ: Да, точка и пересечение фигур являются геометрическими фигурами.
   
   
3. Вася бежит в школу в 2 раза быстрее Светы. Но если он по пути встретит Петю, то вместе они пойдут в 4 раза медленнее бегущей Светы. Расстояние от дома Васи до школы в 2 раза меньше, чем от дома Светы до школы. Какую часть пути Вася пробежал до встречи с Петей, если он и Света выбежали из дома в одно время и подошли/прибежали к школе также одновременно?
   Решение:
   Пусть скорость Светы \( v \), тогда скорость Васи \( 2v \). Скорость Васи и Пети вместе \( \frac{v}{4} \).
   Расстояние до школы Васи: \( S \), Светы: \( 2S \).
   Время пути без встречи: Света \( \frac{2S}{v} \), Вася \( \frac{S}{2v} \).
   Но поскольку они приходят одновременно, Вася некоторую часть пути \( x \) пробегает сам, а оставшуюся \( S - x \) проходит с Петей:
   Общее время Васи: \( t = \frac{x}{2v} + \frac{S - x}{\frac{v}{4}} = \frac{x}{2v} + \frac{4(S - x)}{v} \).
   Это время должно равняться времени Светы \( \frac{2S}{v} \):
   \[ \frac{x}{2v} + \frac{4(S - x)}{v} = \frac{2S}{v} \] Умножаем на \( v \): \[ \frac{x}{2} + 4(S - x) = 2S \] \[ \frac{x}{2} + 4S - 4x = 2S \] \[ -\frac{7x}{2} = -2S \Rightarrow x = \frac{4S}{7} \] Доля пути: \( \frac{x}{S} = \frac{4}{7} \).
   Ответ: \( \frac{4}{7} \).
   
   
4. Найдите 2 числа, первое из которых в 2 раза меньше удвоенной трети второго числа, от которого отняли 1, а второе в 3 раза больше утроенной четверти первого числа, к которой прибавили 2.
   Решение:
   Пусть первое число \( a \), второе \( b \).
   Составим систему уравнений: \[ \begin{cases} a = \frac{2 \cdot \frac{b - 1}{3}}{2} \\ b = 3 \cdot \left(3 \cdot \frac{a}{4} + 2 \right) \end{cases} \] Упростим: \[ a = \frac{b - 1}{3} \] \[ b = \frac{9a}{4} + 6 \] Подставляем \( a \) во второе уравнение: \[ b = \frac{9 \cdot \frac{b - 1}{3}}{4} + 6 = \frac{3(b - 1)}{4} + 6 \] Умножаем на 4: \[ 4b = 3(b - 1) + 24 \Rightarrow 4b = 3b - 3 + 24 \Rightarrow b = 21 \] Тогда \( a = \frac{21 - 1}{3} = \frac{20}{3} \).
   Ответ: \( \frac{20}{3} \) и \( 21 \).
   
   
5. В равнобедренный треугольник вписан другой треугольник таким образом, что его вершины лежат на серединах сторон исходного треугольника. Как соотносятся площади данных треугольников? Как может измениться соотношение площадей, если исходный треугольник будет не равнобедренным, а произвольным?
   Решение: Треугольник, образованный средними линиями любого треугольника (включая равнобедренный), называется средним треугольником. Его площадь составляет \( \frac{1}{4} \) площади исходного треугольника, так как каждая сторона среднего треугольника вдвое меньше соответствующей стороны исходного, и коэффициент подобия равен \( \frac{1}{2} \). Площадь квадратично зависит от размеров, поэтому отношение площадей \( 1:4 \).
   Для произвольного треугольника соотношение останется тем же, поскольку средние линии сохраняют свойства независимо от вида треугольника.
   Ответ: Площадь вписанного треугольника в \( 4 \) раза меньше исходного, соотношение не зависит от типа треугольника.
   
   
6. Изобразите на координатной плоскости множество всех точек, координаты которых являются противоположными числами, разность которых лежит между числом, делящимся без остатка на 3, и числом, на единицу его большим.
   Решение: Пусть точка \( (a, b) \), где \( a = -b \). Тогда разность чисел \( a - b = a - (-a) = 2a \).
   Условие: \( k \leq 2a < k + 1 \), где \( k \) — число, делящееся на 3 (\( k = 3n \), \( n \in \mathbb{Z} \)).
   Таким образом, \( 3n \leq 2a < 3n + 1 \).
   Преобразуем: \( \frac{3n}{2} \leq a < \frac{3n + 1}{2} \).
   График множества точек — вертикальные полосы между прямыми \( x = \frac{3n}{2} \) и \( x = \frac{3n + 1}{2} \) для всех целых \( n \), при этом \( y = -x \).
   Ответ: Множество точек лежит на прямой \( y = -x \) в полосах между \( x = \frac{3n}{2} \) и \( x = \frac{3n + 1}{2} \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
   
   
7. Сколько существует натуральных чисел, не превышающих 10000, которые делятся на 102, но не делятся ни на 14, ни на 15? Ответ обосновать.
   Решение: Числа делятся на 102 (\( 102 = 2 \cdot 3 \cdot 17 \)).
   Исключим числа, делящиеся на НОК(102,14) = 714 и НОК(102,15) = 510.
   НОК$(714,510) = 714 \cdot 510$ НОД$(714,510) = 714 \cdot 510 / 102 = 3570$ (по формуле НОК).
   Количество чисел до 10000, делящихся на 102: \( \lfloor \frac{10000}{102} \rfloor = 98 \).
   Делящихся на 714: \( \lfloor \frac{10000}{714} \rfloor = 14 \).
   Делящихся на 510: \( \lfloor \frac{10000}{510} \rfloor = 19 \).
   Делящихся на 3570: \( \lfloor \frac{10000}{3570} \rfloor = 2 \).
   Применяем принцип включения-исключения: \[ 98 - 14 - 19 + 2 = 67 \] Ответ: 67.