ФМШ МИЭМ из 7 в 8 класс 2018 год вариант ФМШ 2018-08-1

ФМШ МИЭМ

2018 год

Вариант ФМШ 2018-08-2

1. Решите уравнение: $x + (x+1) + (x+2) + \dots + (x+10000) = 10001$.
2. Что такое непериодическая дробь? Всегда ли сумма непериодических дробей является непериодической дробью? Может ли квадрат непериодической дроби не быть непериодической дробью? Ответы обосновать.
3. Два велосипедиста поехали по одной дороге из города $N$. Первый из них ехал с постоянной скоростью 12,км/ч, а второй, выехавший на 1 час позже первого, каждый чётный час своего пути ехал со скоростью 22,км/ч, а каждый нечётный — со скоростью 8,км/ч. Через какое время после своего старта второй велосипедист догнал первого? Оказывался ли после этого первый велосипедист впереди второго? Сколько раз велосипедисты одновременно находились в одной точке?
4. Сколько существует квадратных уравнений, сумма корней которых в 3 раза больше произведения корней, и при этом один из корней в 2 раза больше другого? Каким условиям будут удовлетворять коэффициенты таких уравнений?
5. В квадрат вписан равнобедренный треугольник таким образом, что его вершина находится в вершине квадрата. Какую минимальную площадь может иметь данный треугольник, если площадь квадрата равна $a$?
6. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют условию: $\frac{x}{y} - \frac{y}{x} \le 0$.
7. Какие значения может принимать сумма $x + y$, если известно, что $4 < x^2 < 9$, а $1 < y - x < 3$?

Решения задач

1. Решите уравнение: $x + (x+1) + (x+2) + \dots + (x+10000) = 10001$.
   Решение: Левая часть уравнения представляет собой сумму арифметической прогрессии с первым членом $x$, разностью $1$ и количеством членов $10001$. Формула суммы:
   $S = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1)d)$
   Подставляем значения:
   $\frac{10001}{2} \cdot (2x + 10000) = 10001$
   Упрощаем:
   $10001 \cdot (x + 5000) = 10001$
   $x + 5000 = 1$
   $x = -4999$
   Ответ: $-4999$.
   
   
2. Что такое непериодическая дробь? Всегда ли сумма непериодических дробей является непериодической дробью? Может ли квадрат непериодической дроби не быть непериодической дробью? Ответы обосновать.
   Решение:
   1. Непериодическая дробь — десятичная дробь без повторяющегося периода, соответствующая иррациональному числу.
   2. Нет. Пример: $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$ — периодическая дробь.
   3. Да. Пример: $(\sqrt{2})^2 = 2$ — целое число, периодическая дробь.
   Ответ: 1. Иррациональная десятичная дробь без периода. 2. Не всегда. 3. Может.
   
   
3. Два велосипедиста поехали по одной дороге из города $N$. Первый ехал с постоянной скоростью 12 км/ч, второй, выехавший на 1 час позже, каждый чётный час ехал со скоростью 22 км/ч, а нечётный — 8 км/ч. Через какое время после старта второй догнал первого? Оказывался ли первый впереди после этого? Сколько раз они встречались?
   Решение: Пусть $t$ — время движения второго велосипедиста до встречи. За это время первый проехал $12(t + 1)$ км. Рассмотрим движение второго по часам:
   • За первый час: $8$ км
   • За второй час: $22$ км
   • За третий час: $8$ км
   • За четвёртый час: $22$ км
   Суммарный путь второго за $4$ часа: $8 + 22 + 8 + 22 = 60$ км. Путь первого за $5$ часов: $12 \cdot 5 = 60$ км. Встреча произошла через $4$ часа после старта второго.
   После встречи второй в пятый час едет $8$ км/ч, а первый продолжает движение со скоростью $12$ км/ч. Через час после встречи первый будет впереди на $12 - 8 = 4$ км.
   Ответ: Через 4 часа; да; 1 раз.
   
   
4. Сколько существует квадратных уравнений, сумма корней которых в 3 раза больше произведения, и один корень в 2 раза больше другого? Каким условиям удовлетворяют коэффициенты?
   Решение: Пусть корни $k$ и $2k$. По условию:
   $k + 2k = 3 \cdot (k \cdot 2k)$
   $3k = 6k^2 \Rightarrow k = 0$ или $k = \frac{1}{2}$
   Ненулевой корень: $k = \frac{1}{2}$, тогда корни $\frac{1}{2}$ и $1$. Уравнение:
   $(x - \frac{1}{2})(x - 1) = x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2} = 0$
   Коэффициенты должны быть пропорциональны $2x^2 - 3x + 1 = 0$.
   Ответ: Бесконечно много; коэффициенты $a : b : c = 2 : -3 : 1$.
   
   
5. В квадрат площадью $a$ вписан равнобедренный треугольник с вершиной в углу квадрата. Найдите минимальную площадь треугольника.
   Решение: Пусть сторона квадрата $\sqrt{a}$. Рассмотрим треугольник с вершинами $(0,0)$, $(t, \sqrt{a})$, $(\sqrt{a}, t)$. Площадь:
   $S = \frac{1}{2}|t^2 - a|$
   Минимум достигается при $t = \sqrt{\frac{a}{2}}$:
   $S_{min} = \frac{1}{2} \left|\frac{a}{2} - a\right| = \frac{a}{4}$
   Ответ: $\frac{a}{4}$.
   
   
6. Изобразите множество точек, удовлетворяющих $\frac{x}{y} - \frac{y}{x} \le 0$.
   Решение: Преобразуем неравенство:
   $\frac{x^2 - y^2}{xy} \le 0$
   Рассмотрим случаи:
   • $xy > 0$: $x^2 \le y^2 \Rightarrow |x| \le |y|$
   • $xy < 0$: $x^2 \ge y^2 \Rightarrow |x| \ge |y|$
   Ответ: Объединение областей $|x| \le |y|$ в I и III четвертях, $|x| \ge |y|$ во II и IV четвертях.
   
   
7. Какие значения может принимать $x + y$, если $4 < x^2 < 9$ и $1 < y - x < 3$?
   Решение: Из $4 < x^2 < 9$ следует $x \in (-3, -2) \cup (2, 3)$. Из $y = x + t$, где $t \in (1, 3)$:
   $x + y = 2x + t$
   Для $x \in (2, 3)$: $2x \in (4, 6) \Rightarrow x + y \in (5, 9)$
   Для $x \in (-3, -2)$: $2x \in (-6, -4) \Rightarrow x + y \in (-5, -1)$
   Ответ: $x + y \in (-5, -1) \cup (5, 9)$.