ФМШ МИЭМ из 7 в 8 класс 2018 год

ФМШ МИЭМ

2018 год

Вариант ФМШ 2018-08-1

1. Решите уравнение: $x + (x-1) + (x-2) + \dots + (x-10000) = 10001$.
2. Что такое периодическая дробь? Всегда ли сумма периодических дробей является периодической дробью? Что можно сказать о дроби, периодом которой является число 9? Ответы обосновать.
3. Два велосипедиста поехали по одной дороге из города $N$. Первый из них ехал с постоянной скоростью 10,км/ч, а второй, выехавший на 2 часа позже первого, каждый чётный час своего пути ехал со скоростью 22,км/ч, а каждый нечётный — со скоростью 8,км/ч. Через какое время после своего старта второй велосипедист впервые догнал первого? Оказывался ли после этого первый велосипедист впереди второго? Сколько раз велосипедисты одновременно находились в одной точке?
4. Сколько существует квадратных уравнений, сумма корней которых в 2 раза больше произведения корней, и при этом один из корней в 3 раза больше другого? Каким условиям будут удовлетворять коэффициенты таких уравнений?
5. В квадрат вписан равнобедренный треугольник таким образом, что его вершина находится в вершине квадрата. Какую максимальную площадь может иметь данный треугольник, если площадь квадрата равна $a$?
6. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют условию: $\frac{x}{y} - \frac{y}{x} \ge 0$.
7. Какие значения может принимать сумма $x + y$, если известно, что $1 < x^2 < 4$, а $2 < y - x < 5$?

Решения задач

1. Решите уравнение: $x + (x-1) + (x-2) + \dots + (x-10000) = 10001$.
   Решение: Заметим, что выражение представляет собой сумму арифметической прогрессии с первым членом $x$, последним членом $(x - 10000)$ и количеством членов $10001$. Формула суммы:
   $S = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2} = \frac{(x + (x - 10000)) \cdot 10001}{2} = \frac{(2x - 10000) \cdot 10001}{2} = (x - 5000) \cdot 10001$
   По условию: $(x - 5000) \cdot 10001 = 10001$
   Делим обе части на 10001: $x - 5000 = 1$
   $x = 5001$
   Ответ: 5001.
   
   
2. Что такое периодическая дробь? Всегда ли сумма периодических дробей является периодической дробью? Что можно сказать о дроби, периодом которой является число 9? Ответы обосновать.
   Решение:
   1. Периодическая дробь — бесконечная десятичная дробь, у которой существует повторяющаяся группа цифр (период).
   2. Сумма периодических дробей всегда будет периодической дробью, так как множество периодических дробей замкнуто относительно сложения.
   3. Дробь с периодом 9 эквивалентна конечной десятичной дроби. Например: $0,\overline{9} = 1$, $1,2\overline{9} = 1,3$ и т.д.
   Ответ: периодическая дробь имеет повторяющийся период; сумма периодических дробей периодична; дроби с периодом 9 эквивалентны конечным дробям.
   
   
3. Два велосипедиста поехали по одной дороге из города $N$. Первый ехал с постоянной скоростью 10 км/ч, второй, выехавший на 2 часа позже, каждый чётный час ехал 22 км/ч, а нечётный — 8 км/ч. Через какое время после старта второй догонит первого? Оказывался ли первый впереди после этого? Сколько раз встречались?
   Решение:
   1. За 2 часа до старта второго первый проехал $10 \cdot 2 = 20$ км.
   2. Рассмотрим циклы движения второго велосипедиста (2 часа):
      За первый час: $22$ км, за второй час: $8$ км. Средняя скорость за цикл: $\frac{22 + 8}{2} = 15$ км/ч.
      Разность скоростей: $15 - 10 = 5$ км за цикл. Для ликвидации отставания в 20 км потребуется $20 / 5 = 4$ цикла (8 часов). Но точный расчет показывает, что догонение происходит раньше:
      После 7 часов движения второго:
      Путь первого: $10 \cdot (7 + 2) = 90$ км
      Путь второго: $(22 + 8) \cdot 3 + 22 = 90 + 22 = 112$ км (неверно). Уточним по часам:
      Через $t$ часов после старта второго:
      Путь первого: $10(t + 2)$
      Путь второго: $\sum_{k=1}^{t} v_k$, где $v_k = 22$ при чётном $k$, $v_k = 8$ при нечётном.
      Решая уравнение $10(t + 2) = \sum_{k=1}^{t} v_k$, находим $t = 6$ часов:
      Первый: $10 \cdot 8 = 80$ км
      Второй: $8 + 22 + 8 + 22 + 8 + 22 = 90$ км (догоняет на 6-м часу).
   3. После догонения первый не сможет обогнать второго, так как средняя скорость второго выше.
   4. Встречаются единожды в момент обгона.
   Ответ: через 6 часов; нет; 1 раз.
   
   
4. Сколько существует квадратных уравнений, сумма корней которых в 2 раза больше произведения, и один корень в 3 раза больше другого? Каким условиям удовлетворяют коэффициенты?
   Решение: Пусть корни $x_1$ и $x_2 = 3x_1$. По условию:
   $x_1 + 3x_1 = 2 \cdot (x_1 \cdot 3x_1) \Rightarrow 4x_1 = 6x_1^2 \Rightarrow x_1 = \frac{2}{3}$
   Тогда $x_2 = 2$. Уравнение: $(x - \frac{2}{3})(x - 2) = 0 \Rightarrow x^2 - \frac{8}{3}x + \frac{4}{3} = 0$
   Коэффициенты должны удовлетворять: $a \neq 0$, $b = -\frac{8}{3}a$, $c = \frac{4}{3}a$ для любого $a \neq 0$.
   Ответ: бесконечно много уравнений; коэффициенты пропорциональны с соотношением $3b = -8a$, $3c = 4a$.
   
   
5. В квадрат вписан равнобедренный треугольник с вершиной в вершине квадрата. Максимальная площадь при площади квадрата $a$?
   Решение: Пусть сторона квадрата $\sqrt{a}$. Рассмотрим треугольник с вершинами в $(0,0)$, $(x,0)$, $(0,x)$. Площадь:
   $S = \frac{1}{2}x^2$. Максимальная площадь при $x = \sqrt{a}$ (диагональ квадрата):
   $S_{max} = \frac{1}{2}a$
   Ответ: $\frac{a}{2}$.
   
   
6. Изобразите на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих $\frac{x}{y} - \frac{y}{x} \ge 0$.
   Решение: Преобразуем неравенство:
   $\frac{x^2 - y^2}{xy} \ge 0 \Rightarrow \frac{(x - y)(x + y)}{xy} \ge 0$
   Анализируем знаки в координатных четвертях:
   • I четверть ($x > 0, y > 0$): $(x - y)(x + y) \ge 0 \Rightarrow x \ge y$
   • III четверть ($x < 0, y < 0$): аналогично I, $x \le y$
   • II и IV четверти ($xy < 0$): $(x - y)(x + y) \le 0$
   Ответ: объединение областей $x \ge y$ в I и III четвертях, и $x \le y$ во II и IV четвертях.
   
   
7. Какие значения может принимать $x + y$, если $1 < x^2 < 4$ и $2 < y - x < 5$?
   Решение:
   1. Из $1 < x^2 < 4$: $x \in (-2, -1) \cup (1, 2)$
   2. Из $2 < y - x < 5$: $y = x + t$, где $t \in (2, 5)$
   3. Сумма $x + y = x + (x + t) = 2x + t$
   4. Для $x > 0$: $2 \cdot 1 + 2 < S < 2 \cdot 2 + 5 \Rightarrow 4 < S < 9$
   5. Для $x < 0$: $2 \cdot (-2) + 2 < S < 2 \cdot (-1) + 5 \Rightarrow -2 < S < 3$
   Ответ: $x + y \in (-2, 3) \cup (4, 9)$.