8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМШ МИЭМ из 7 в 8 класс 2017 год

Сложность:
Дата экзамена: 2017
Печать
youit.school ©

ФМШ МИЭМ


2017 год


Вариант ФМШ 2017-III-08-2



  1. Упростите выражение: \[ \frac{ \displaystyle \frac{x}{y} : x \quad x : \frac{y}{x} \quad \frac{y}{x} : x }{ \displaystyle y : \frac{y}{x} \quad x : \frac{y}{x} \quad x : \frac{x}{y} }. \]

  2. Что такое квадрат? Может ли квадрат не иметь площади? Может ли квадрат иметь длину? Ответы обосновать.

  3. Чему равно \(120\%\) от \(60\%\) числа, \(10\%\) от которого равно \(40\%\) куба этого числа?

  4. Точки \(A\) и \(B\) движутся по прямой. Их координаты зависят от времени \(t\) (\(t>0\)) следующим образом: \[ A(t)=4 - B(t) + t,\qquad B(t)=2t - 3A(t) + 1. \] Окажутся ли когда-нибудь точки \(A\) и \(B\) одновременно в одной точке? В какой момент времени \(t\) точки встретятся, если точка \(A\) будет двигаться в 2 раза быстрее?

  5. В прямоугольный треугольник вписан другой треугольник таким образом, что его вершины лежат на серединах всех сторон первого треугольника. В каждый из треугольников, на которые первый треугольник разбился вторым, также вписан треугольник, вершины которого лежат на серединах всех сторон треугольника, в который он вписан. На сколько треугольников оказался разбит исходный треугольник? Докажите, что все эти треугольники равны.

  6. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют условию: \[ \lvert x + y\rvert > \lvert y\rvert. \]

  7. При каких условиях произведение трёх последовательных натуральных чисел делится на:
    1. 4;
    2. 6;
    3. 12?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Упростите выражение: \[ \frac{ \displaystyle \frac{x}{y} : x \quad x : \frac{y}{x} \quad \frac{y}{x} : x }{ \displaystyle y : \frac{y}{x} \quad x : \frac{y}{x} \quad x : \frac{x}{y} } \]
    Решение: Упростим числитель и знаменатель по отдельности. В числителе:
    • $\frac{x}{y} : x = \frac{x}{y} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{y}$;
    • $x : \frac{y}{x} = x \cdot \frac{x}{y} = \frac{x^2}{y}$;
    • $\frac{y}{x} : x = \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{y}{x^2}$.
    Перемножаем элементы числителя: \[ \frac{1}{y} \cdot \frac{x^2}{y} \cdot \frac{y}{x^2} = \frac{1}{y} \] В знаменателе:
    • $y : \frac{y}{x} = y \cdot \frac{x}{y} = x$;
    • $x : \frac{y}{x} = x \cdot \frac{x}{y} = \frac{x^2}{y}$;
    • $x : \frac{x}{y} = x \cdot \frac{y}{x} = y$.
    Перемножаем элементы знаменателя: \[ x \cdot \frac{x^2}{y} \cdot y = x^3 \] Получаем итоговое выражение: \[ \frac{1/y}{x^3} = \frac{1}{x^3 y} \]
    Ответ: $\displaystyle \frac{1}{x^3 y}$.

  2. Что такое квадрат? Может ли квадрат не иметь площади? Может ли квадрат иметь длину? Ответы обосновать.
    Решение: Квадрат — это четырёхугольник с равными сторонами и прямыми углами. Площадь квадрата зависит от длины его стороны и равна $a^2$, где $a$ — длина стороны. Площадь квадрата не может быть нулевой, если он не является вырожденным (т.е. стороной нулевой длины), что противоречит определению. Квадрат как двумерная фигура имеет стороны с длиной, но сам квадрат не имеет «длины» как одномерного объекта. Термин «длина» применим к отрезкам, сторонам квадрата, но не к квадрату целиком.
    Ответ: Квадрат — четырёхугольник с равными сторонами и углами. Площадь равна нулю только для вырожденного квадрата. Длину имеют стороны квадрата, но не сам квадрат как фигура.

  3. Чему равно \(120\%\) от \(60\%\) числа, \(10\%\) от которого равно \(40\%\) куба этого числа?
    Решение: Пусть число равно \(x\). По условию: \[ 0,1x = 0,4x^3 \implies 0,1 = 0,4x^2 \implies x^2 = \frac{0,1}{0,4} = 0,25 \implies x = 0,5 \; \text{или} \; x = -0,5. \] Поскольку речь идёт о проценте числа, считаем \(x = 0,5\). Тогда: \[ 120% \cdot 60% \cdot x = 1,2 \cdot 0,6 \cdot 0,5 = 0,36. \]
    Ответ: 0,36.

  4. Точки \(A\) и \(B\) движутся по прямой. Их координаты зависят от времени: \[ A(t)=4 - B(t) + t,\qquad B(t)=2t - 3A(t) + 1. \]
    Решение: Подставим \(A(t)\) во второе уравнение: \[ B(t) = 2t - 3(4 - B(t) + t) + 1 \implies B(t) = 2t - 12 + 3B(t) - 3t + 1 \implies \] \[ -2B(t) = -t - 11 \implies B(t) = \frac{t + 11}{2}. \] Тогда: \[ A(t) = 4 - \frac{t + 11}{2} + t = \frac{t - 3}{2}. \] Уравнение \(A(t) = B(t)\): \[ \frac{t - 3}{2} = \frac{t + 11}{2} \implies -3 = 11 \implies \text{нет решения}. \] При удвоенной скорости точки \(A\) (\(A_{нов}(t) = t - 1,5\)): \[ t - 1,5 = \frac{t + 11}{2} \implies 2t - 3 = t + 11 \implies t = 14. \]
    Ответ: В исходном движении точки не встречаются. При удвоенной скорости точки \(A\) встреча происходит при \(t = 14\).

  5. Исходный прямоугольный треугольник разбивается на 4 равных треугольника. После повторного аналогичного разбивания каждого из этих треугольников получаем 16 треугольников. Все новые треугольники равны в силу подобия и сохранения пропорций при делении сторон пополам.
    Ответ: На 16 треугольников. Все треугольники равны.

  6. Изобразите множество точек, удовлетворяющих условию: \[ \lvert x + y\rvert > \lvert y\rvert. \]
    Решение:
    • При \(y \geq 0\): \(|x + y| > y \implies x > 0\) или \(x < -2y\).
    • При \(y -y \implies x > -2y\) или \(x < 0\).
    Графически это область, где \(x > 0\) или между прямыми \(y = -\frac{x}{2}\) и отрицательной полуосью \(y\).
    Ответ: Объединение правой полуплоскости \(x > 0\) и областей выше \(y = -\frac{x}{2}\) для \(y 0\).

  7. Условия делимости трёх последовательных натуральных чисел:
    1. На 4: делится всегда, кроме случая, когда первое число даёт остаток 1 при делении на 4.
    2. На 6: делится всегда.
    3. На 12: то же условие, что и для делимости на 4.

    Ответ:
    1. ВСЕГДА, кроме \(n \equiv 1 \mod 4\);
    2. ВСЕГДА;
    3. Аналогично пункту (a).
Материалы школы Юайти