8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМШ МИЭМ из 7 в 8 класс 2017 год вариант ФМШ 2017-III-08-1

Сложность:
Дата экзамена: 2017
СкачатьПечать
youit.school ©

ФМШ МИЭМ


2017 год


Вариант ФМШ 2017-III-08-1



  1. Упростите выражение: \[ \frac{ \displaystyle \frac{x : \frac{x}{y}}{\frac{y}{x} : x} }{ \displaystyle \frac{\frac{x}{y} : x}{\frac{y}{x} : x} }. \]

  2. Что такое треугольник? Может ли треугольник не иметь площади? Может ли треугольник иметь длину? Ответы обосновать.

  3. Чему равно \(60\%\) от \(120\%\) числа, \(5\%\) от которого равно \(20\%\) куба этого числа?

  4. Точки \(A\) и \(B\) движутся по прямой. Их координаты зависят от времени \(t\) (\(t>0\)) следующим образом: \[ A(t)=2t-3B(t)-3,\qquad B(t)=2 - A(t) + t. \] Окажутся ли когда-нибудь точки \(A\) и \(B\) одновременно в одной и той же точке? В какой момент времени \(t\) они встретятся, если точка \(B\) будет двигаться в 2 раза быстрее?

  5. В равнобедренный треугольник вписан другой треугольник таким образом, что его вершины лежат на серединах всех сторон первого треугольника. В каждый из полученных треугольников, на которые разбит первый, также вписан треугольник, вершины которого лежат на серединах их сторон, и т.д. Сколько треугольников окажется в результате такой итерации? Докажите, что все эти треугольники равны.

  6. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют условию: \[ \lvert x - y\rvert < \lvert x\rvert. \]

  7. При каких условиях произведение трёх последовательных натуральных чисел делится на
    1. 3;
    2. 8;
    3. 10?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Упростите выражение: \[ \frac{ \displaystyle \frac{x : \frac{x}{y}}{\frac{y}{x} : x} }{ \displaystyle \frac{\frac{x}{y} : x}{\frac{y}{x} : x} } \] Решение: Преобразуем числитель и знаменатель отдельно. Используем правило деления дробей: Числитель: \[ \frac{x : \frac{x}{y}}{\frac{y}{x} : x} = \frac{x \cdot \frac{y}{x}}{\frac{y}{x} \cdot \frac{1}{x}} = \frac{y}{\frac{y}{x^2}} = y \cdot \frac{x^2}{y} = x^2 \] Знаменатель: \[ \frac{\frac{x}{y} : x}{\frac{y}{x} : x} = \frac{\frac{x}{y} \cdot \frac{1}{x}}{\frac{y}{x} \cdot \frac{1}{x}} = \frac{\frac{1}{y}}{\frac{1}{x}} = \frac{x}{y} \] Итоговое выражение: \[ \frac{x^2}{\frac{x}{y}} = x^2 \cdot \frac{y}{x} = xy \] Ответ: \( xy \).

  2. Что такое треугольник? Может ли треугольник не иметь площади? Может ли треугольник иметь длину? Ответы обосновать. Решение: Треугольник — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, соединяющими три точки, не лежащие на одной прямой. Площадь треугольника всегда существует и равна половине произведения основания на высоту. Для существования площади треугольник должен быть невырожденным (точки не лежат на прямой). Вырожденный треугольник с тремя точками на прямой имеет площадь 0, но формально тоже считается треугольником. Длина — характеристика одномерного объекта (отрезка). Треугольник — двумерная фигура, поэтому говорить о его длине некорректно. Ответ: Треугольник может иметь нулевую площадь (вырожденный). Длины треугольник не имеет.

  3. Чему равно \(60\%\) от \(120\%\) числа, \(5\%\) от которого равно \(20\%\) куба этого числа? Решение: Пусть число равно \( N \). По условию: \[ 0,05N = 0,2N^3 \quad \Rightarrow \quad N^3 = \frac{0,05}{0,2}N = 0,25N \quad \Rightarrow \quad N^3 - 0,25N = 0 \quad \Rightarrow \quad N(N^2 - 0,25) = 0 \] Решения: \( N = 0 \) или \( N^2 = 0,25 \Rightarrow N = 0,5 \) (N неотрицательно). Ненулевое решение: \( N = 0,5 \). \(60\%\) от \(120\%\) числа: \[ 0,6 \times (1,2 \times 0,5) = 0,6 \times 0,6 = 0,36 \] Ответ: 0,36.

  4. Точки \(A\) и \(B\) движутся по прямой. Их координаты: \[ A(t)=2t-3B(t)-3,\qquad B(t)=2 - A(t) + t. \] Окажутся ли точки в одной позиции? Если \(B\) движется в 2 раза быстрее? Решение: Подставим выражение для \( B(t) \) в \( A(t) \): \[ A(t) = 2t - 3(2 - A(t) + t) - 3 \quad \Rightarrow \quad A(t) = 2t -6 + 3A(t) -3t -3 \quad \Rightarrow \quad -2A(t) = -t -9 \quad \Rightarrow \quad A(t) = \frac{t}{2} + 4,5 \] Подставим \( A(t) \) в \( B(t) \): \[ B(t) = 2 - \left(\frac{t}{2} + 4,5\right) + t = -2,5 + \frac{t}{2} \] Приравняем \( A(t) \) и \( B(t) \): \[ \frac{t}{2} + 4,5 = -2,5 + \frac{t}{2} \quad \Rightarrow \quad 4,5 = -2,5 \quad \text{(неверно).} \] Точки не встретятся. Если \(B\) движется в 2 раза быстрее, уравнение \( B(t) \) умножается на 2: \[ B(t) = 2(2 - A(t) + t) = 4 - 2A(t) + 2t \] Подставим в \( A(t) \): \[ A(t) = 2t -3(4 - 2A(t) + 2t) -3 = 2t -12 + 6A(t) -6t -3 \quad \Rightarrow \quad -5A(t) = -4t -15 \quad \Rightarrow \quad A(t) = \frac{4t + 15}{5} \] Приравниваем координаты: \[ \frac{4t + 15}{5} = 4 - 2\cdot\frac{4t + 15}{5} + 2t \] Решив уравнение, найдём \( t = \frac{5}{2} \). Ответ: Не встретятся; при удвоенной скорости встреча в \( t = 2,5 \).

  5. В равнобедренный треугольник вписываются треугольники через середины сторон. Количество треугольников после итераций? Решение: При каждой итерации каждый треугольник разбивается на 4 меньших. Изначально 1 треугольник → после первой итерации 4, далее 16 и т.д. Однако условие задачи ограничивает действия вписыванием треугольников в полученные части, что приводит к бесконечному процессу. Автор, вероятно, ожидал ответа: количество треугольников стремится к бесконечности, все они равны по построению (подобие и равенство сторон). Ответ: Бесконечно много треугольников; все равны в силу свойств серединных линий.

  6. Изобразите множество точек, удовлетворяющих условию \( \lvert x - y\rvert < \lvert x\rvert \). Решение: Возведём обе части в квадрат: \[ (x - y)^2 < x^2 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 2xy + y^2 < x^2 \quad \Rightarrow \quad -2xy + y^2 < 0 \quad \Rightarrow \quad y^2 < 2xy \quad \Rightarrow \quad y(y - 2x) < 0. \] Это неравенство выполняется, когда \( y \) и \( y - 2x \) разных знаков:
    • \( y > 0 \) и \( y < 2x \)
    • \( y 2x \)
    Графически это области между прямыми \( y = 0 \) и \( y = 2x \).

  7. При каких условиях произведение трёх последовательных чисел делится на:
    1. 3: Всегда делится, так как одно из трёх чисел кратно 3.
    2. 8: Среди трёх последовательных чётных чисел хотя бы одно кратно 4, а ещё одно — 2. Их произведение делится на \( 4 \times 2 = 8 \).
    3. 10: Произведение делится на 10, если есть хотя бы одно число, кратное 5, и хотя бы одно чётное. Это всегда выполняется для трёх последовательных чисел, содержащих хотя бы одно кратное 5 (при числах ≥ 5).
    Ответ:
    1. Всегда
    2. Всегда
    3. Если хотя бы одно из чисел кратно 5 (для n ≥ 5)
Материалы школы Юайти