ФМШ МИЭМ из 7 в 8 класс 2017 год вариант ФМШ 2017-II-08-2

ФМШ МИЭМ

2017 год

Вариант ФМШ 2017-II-08-2

1. Решите уравнение: \[ \frac{\displaystyle \frac{x}{5} - x} {\displaystyle \frac{4}{3} - x} \;-\; x = x : \frac{\displaystyle \frac{x}{5} - x} {\displaystyle 3x \over 2x}. \]
   
   
2. Что такое периметр? На плоскости нарисованы угол и круг, центр которого находится в вершине угла. Будет ли иметь периметр часть угла, не выходящая за пределы круга? Чему может быть равна площадь фигуры, полученной из круга радиусом \(r\), из которого удалены все точки, принадлежащие исходному углу, за исключением сторон угла? Ответы обосновать.
   
   
3. В сосуд, содержащий \(70\%\)-ный водный раствор активного вещества, долили воды, а затем некоторое количество \(10\%\)-го водного раствора этого же вещества. После каждого шага процентное содержание активного вещества в растворе уменьшалось на \(20\%\). Найдите отношение количества долитой воды к количеству долитого \(10\%\)-го раствора.
   
   
4. Точка \(M\) с координатой \(-2\) делит отрезок \(AB\) в отношении \(1:3\). Координата точки \(B\) отрицательна. Какие значения может принимать координата точки \(N\), которая делит отрезок \(AB\) в отношении \(3:1\)?
   
   
5. При каких значениях \(a\) и \(b\) система \[ \begin{cases} 2x + b y = 8,\\ -4x + 2y = a \end{cases} \] не имеет решений?
   
   
6. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют только одному из следующих условий:
   1. абсцисса меньше ординаты;
   2. сумма абсциссы и ординаты больше нуля.
   
   
   
7. Разность максимального и минимального трёхзначных чисел, которые можно составить из одинакового набора трёх различных цифр, равна \(198\). Найдите все возможные пары таких максимальных и минимальных трёхзначных чисел.

Решения задач

1. Решите уравнение: \[ \frac{\displaystyle \frac{x}{5} - x}{\displaystyle \frac{4}{3} - x} - x = x : \frac{\displaystyle \frac{x}{5} - x}{\displaystyle \frac{3x}{2x}}. \]
   Решение:
   Упростим выражение. В левой части: \[ \frac{\frac{x}{5} - x}{\frac{4}{3} - x} = \frac{-\frac{4x}{5}}{\frac{4 - 3x}{3}} = -\frac{12x}{5(4 - 3x)}. \] Далее левая часть принимает вид: \[ -\frac{12x}{5(4 - 3x)} - x. \] В правой части дробь в знаменателе равна $\frac{3}{2}$, поэтому: \[ x : \frac{-\frac{4x}{5}}{\frac{3}{2}} = x : \left(-\frac{8x}{15}\right) = -\frac{15}{8}. \] Получаем уравнение: \[ -\frac{12x}{5(4 - 3x)} - x = -\frac{15}{8}. \] Переносим слагаемые и умножаем на $5(4 - 3x)$: \[ -12x = \left(x - \frac{15}{8}\right) \cdot 5(4 - 3x). \] Раскрываем скобки и упрощаем: \[ 120x^2 - 481x + 300 = 0. \] Решая квадратное уравнение, находим дискриминант: \[ D = 481^2 - 4 \cdot 120 \cdot 300 = 87361. \] Корни уравнения: \[ x = \frac{481 \pm \sqrt{87361}}{240}. \] Проверка по ОДЗ подтверждает допустимость корней.
   Ответ: \( x = \frac{481 \pm \sqrt{87361}}{240} \).
   
   
2. Периметр — сумма длин всех сторон замкнутой плоской фигуры. Часть угла, находящаяся внутри круга, имеет периметр, равный сумме двух радиусов круга и длины дуги окружности, ограничивающей сектор угла. Площадь фигуры, образованной кругом радиусом \( r \) без сектора угла, зависит от величины угла \(\theta\) и равна \(\pi r^2 - \frac{\theta}{360} \pi r^2\).
   Ответ: Периметр будет существовать и равен \( 2r + \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r \). Площадь \( \pi r^2 \left(1 - \frac{\theta}{360}\right) \).
   
   
3. Пусть изначальный раствор имеет массу \( M \), концентрацию \( 70% \). После первого шага концентрация уменьшается до \( 50% \), т.к. уменьшилась на \( 20% \). После добавления раствора с \( 10% \) концентрация становится \( 30% \). Используя правило смешения: \[ \frac{M_1}{M_2} = \frac{30 - 10}{50 - 30} = \frac{20}{20} = 1. \]
   Ответ: Отношение \( 1:1 \).
   
   
4. Координата точки \( M \): \[ -2 = \frac{A + 3B}{4}. \] Поскольку \( B < 0 \), возможные значения \( A \) и \( B \) удовлетворяют этому уравнению. Координата точки \( N \), делящей отрезок \( AB \) в отношении \( 3:1 \): \[ N = \frac{3B + A}{4}. \] Подставляя \( A = -8 - 3B \), получаем \( N = -2.5 - B \), где \( B < 0 \).
   Ответ: \( N \) может принимать значения \( N < -2.5 \).
   
   
5. Система: \[ \begin{cases} 2x + by = 8, \\ -4x + 2y = a. \end{cases} \] Не имеет решений, если прямые параллельны, что выполняется при: \[ \frac{2}{-4} = \frac{b}{2} \ne \frac{8}{a} \Rightarrow b = -1, \; a \ne -16. \]
   Ответ: \( b = -1 \), \( a \ne -16 \).
   
   
6. Область, удовлетворяющая только одному из условий: лежит выше линии \( y = x \) вне области \( x + y > 0 \), и ниже линии \( y = x \) внутри области \( x + y > 0 \). График включает две открытые полуплоскости с исключением общей части.
   Ответ: Множество точек заштриховано вне пересечения \( y > x \) и \( x + y > 0 \).
   
   
7. Разность трехзначных чисел: \( \overline{abc} - \overline{cba} = 198 \). Анализ возможных комбинаций цифр показывает, что \( a - c = 2 \). Пары чисел: \( 975 - 579 \), \( 875 - 578 \), \( 765 - 567 \), \( 655 - 457 \) и т.д., где средняя цифра \( b \) может быть любой.
   Ответ: Все пары чисел, где старшая цифра больше младшей на 2: \( 975 \) и \( 579 \), \( 875 \) и \( 578 \), и т.д.