8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМШ МИЭМ из 7 в 8 класс 2017 год

Сложность:
Дата экзамена: 2017
Печать
youit.school ©

ФМШ МИЭМ


2017 год


Вариант ФМШ 2017-II-08-1



  1. Решите уравнение: \[ x \div \frac{1}{2x} \;-\; \frac{\displaystyle \frac{x}{2}}{\displaystyle \frac{x}{3}} \;=\; \frac{4}{5} \;-\; x. \]

  2. Что такое площадь? На плоскости нарисованы угол и окружность, центр которой находится в вершине угла. Будет ли иметь площадь часть угла, не выходящая за пределы окружности? В каких пределах может изменяться периметр фигуры, состоящей из части сторон угла, не выходящих за пределы окружности радиуса \(r\), и части данной окружности, не принадлежащей углу? Ответы обосновать.

  3. В сосуд, содержащий \(50\%\)-ный водный раствор активного вещества, долили воды, а затем некоторое количество \(20\%\)-го водного раствора этого же вещества. После каждого шага процентное содержание активного вещества в растворе уменьшалось на \(10\%\). Найдите отношение количества долитой воды к количеству долитого \(20\%\)-го раствора.

  4. Точка \(M\) с координатой \(2\) делит отрезок \(AB\) в отношении \(3:1\). Координата точки \(A\) положительна. Какие значения может принимать координата точки \(N\), которая делит отрезок \(AB\) в отношении \(1:3\)?

  5. При каких значениях \(a\) и \(b\) система \[ \begin{cases} a x + 4y = 10,\\ 2x - 2y = b \end{cases} \] имеет бесконечное множество решений?

  6. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют только одному из следующих условий:
    1. абсцисса больше ординаты;
    2. сумма абсциссы и ординаты меньше нуля.


  7. Разность максимального и минимального трёхзначных чисел, которые можно составить из одинакового набора трёх различных цифр, равна \(792\). Найдите все возможные пары таких максимальных и минимальных трёхзначных чисел.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решите уравнение: \[ x \div \frac{1}{2x} - \frac{\displaystyle \frac{x}{2}}{\displaystyle \frac{x}{3}} = \frac{4}{5} - x \] Решение: Преобразуем левую часть уравнения:
    \( x \div \frac{1}{2x} = x \cdot 2x = 2x^2 \)
    \( \frac{\frac{x}{2}}{\frac{x}{3}} = \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{x} = \frac{3}{2} \)
    Получаем уравнение: \[ 2x^2 - \frac{3}{2} = \frac{4}{5} - x \] Переносим все члены влево: \[ 2x^2 + x - \frac{3}{2} - \frac{4}{5} = 0 \Rightarrow 2x^2 + x - \frac{23}{10} = 0 \] Умножим уравнение на 10 для упрощения: \[ 20x^2 + 10x - 23 = 0 \] Решаем квадратное уравнение: \[ D = 10^2 + 4 \cdot 20 \cdot 23 = 100 + 1840 = 1940 \] \[ x = \frac{-10 \pm \sqrt{1940}}{40} = \frac{-10 \pm 2\sqrt{485}}{40} = \frac{-5 \pm \sqrt{485}}{20} \] Ответ: \( x = \frac{-5 \pm \sqrt{485}}{20} \).

  2. Что такое площадь? На плоскости нарисованы угол и окружность, центр которой находится в вершине угла. Будет ли иметь площадь часть угла, не выходящая за пределы окружности? В каких пределах может изменяться периметр фигуры, состоящей из части сторон угла, не выходящих за пределы окружности радиуса \(r\), и части данной окружности, не принадлежащей углу?
    Решение:
    Площадь — мера двумерной фигуры. Часть угла внутри окружности имеет площадь, так как она ограничена дугой окружности и сторонами угла.
    Периметр фигуры зависит от угла раствора \(\theta\):
    - Две отрезка длины \(r\) (части сторон угла)
    - Дуга окружности длиной \( r(2\pi - \theta) \) (при \(0 < \theta < 2\pi\))
    Таким образом, периметр фигуры: \[ P = 2r + r(2\pi - \theta) = 2\pi r + r(2 - \theta) \] Диапазон изменения: при \(\theta \to 0\), \(P \to 2\pi r + 2r\); при \(\theta \to 2\pi\), \(P \to 2\pi r - 2\pi r + 2r = 2r\).
    Ответ: Площадь существует; периметр изменяется от \(2r\) до \(2r + 2\pi r\).

  3. В сосуд с \(50\%\)-ным раствором долили воду, затем \(20\%\)-ный раствор. После каждого шага концентрация падала на \(10\%\). Найдите отношение количества воды к \(20\%\)-ному раствору.
    Решение:
    Пусть изначальный объем раствора \(V_0\), концентрация \(c_0 = 50\%\). После добавления воды (\(x\)): \[ \frac{0.5V_0}{V_0 + x} = 0.4 \Rightarrow 0.5V_0 = 0.4(V_0 + x) \Rightarrow x = \frac{V_0}{4} \] Новый объем \(V_1 = V_0 + \frac{V_0}{4} = \frac{5V_0}{4}\). Добавляем \(y\) \(20\%\)-ного раствора: \[ \frac{0.4 \cdot \frac{5V_0}{4} + 0.2y}{\frac{5V_0}{4} + y} = 0.3 \] \[ 0.5V_0 + 0.2y = 0.375V_0 + 0.3y \Rightarrow 0.125V_0 = 0.1y \Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{\frac{V_0}{4}}{\frac{5V_0}{8}} = \frac{2}{5} \] Ответ: \(2:5\).

  4. Точка \(M\) делит отрезок \(AB\) в отношении \(3:1\) при координате \(2\). Координата точки \(A\) положительна. Какие значения может принимать координата точки \(N\), делящей отрезок \(AB\) в отношении \(1:3\)?
    Решение:
    Используем формулу деления отрезка в заданном отношении. Координата точки \(M\): \[ M = \frac{3B + A}{4} = 2 \Rightarrow 3B + A = 8 \] Для точки \(N\): \[ N = \frac{B + 3A}{4} \] Выразим \(B = \frac{8 - A}{3}\), подставим: \[ N = \frac{\frac{8 - A}{3} + 3A}{4} = \frac{8 - A + 9A}{12} = \frac{8 + 8A}{12} = \frac{2 + 2A}{3} \] Так как \(A > 0\), минимальное значение \(N \to \frac{2}{3}\) при \(A \to 0\), максимальное значение растет неограниченно. Однако поскольку \(M\) делит отрезок \(AB\), координаты \(A\) и \(B\) согласованы. Практический диапазон устанавливается с учетом конкретных ограничений.
    Ответ: \(N > \frac{2}{3}\).

  5. При каких \(a\) и \(b\) система имеет бесконечное множество решений: \[ \begin{cases} a x + 4y = 10,\\ 2x - 2y = b \end{cases} \] Решение:
    Для бесконечного множества решений уравнения должны быть пропорциональны: \[ \frac{a}{2} = \frac{4}{-2} = \frac{10}{b} \] Решаем:
    \( \frac{a}{2} = -2 \Rightarrow a = -4 \)
    \( \frac{10}{b} = -2 \Rightarrow b = -5 \)
    Ответ: \(a = -4\), \(b = -5\).

  6. Изобразите множество точек, удовлетворяющих только одному условию:
    1. \(x > y\)
    2. \(x + y < 0\)

    Решение:
    Множество состоит из двух областей:
    1) Точки, где \(x > y\) и \(x + y \geq 0\)
    2) Точки, где \(x \leq y\) и \(x + y < 0\)
    Графически: верхний угол между \(x = y\) и \(x + y = 0\) в правой нижней четверти.

  7. Разность трехзначных чисел равна 792. Найдите пары таких чисел.
    Решение:
    Разность максимального и минимального чисел из одинаковых цифр: \[ ABC - CBA = 792 \] Выразим: \[ 100A + 10B + C - (100C + 10B + A) = 99(A - C) = 792 \] \[ A - C = 8 \Rightarrow A = C + 8 \] Так как цифры различны и \(C \geq 1\) (иначе минимальное число двузначное), возможные варианты:
    \(C = 1\), \(A = 9\) → числа 9B1 и 1B9 (B – любая цифра от 0 до 9 ≠1,9) Примеры: 990 - 198 = 792, 981 - 189 = 792.
    Ответ: (990, 198), (981, 189).
Материалы школы Юайти