ФМШ МИЭМ из 7 в 8 класс 2017 год вариант ФМШ 2017-08-2

ФМШ МИЭМ

2017 год

Вариант ФМШ 2017-08-2

1. Найдите значение выражения \[ \frac{x^3 \cdot x^6 \cdot x^9 \cdots x^{24}} {x^9 \cdot x^{11} \cdot x^{13} \cdots x^{21}} \quad\text{при }x = 3. \] (Автор задачи: Даниил Ткачев, 10 класс, Москва)
   
   
2. Что такое процент? Есть ли математический смысл в следующих словосочетаниях: «восьмидесятдвухпроцентное масло», «трёхсотпроцентное сходство», «семьсотпятьдесятдвувмиллионнатриста семьдесятчетырёхтысячвосемьсотдевяностошестипроцентный доход»? Ответы обосновать.
   
   
3. Уж любит неторопливо с постоянной скоростью заползать в норку под одним камнем и, немного проползши под землёй, вылезать из неё из-под другого камня. От момента, когда уж начинает заползать под первый камень, до момента, когда из-под второго камня выползет кончик его хвоста, проходит 20 секунд. При этом хвост ужа исчезает под первым камнем через 6 секунд после начала заползания в норку. Чему равна длина норки, выраженная в длине этого ужа?
   
   
4. Каких прямоугольников со сторонами, являющимися целыми числами, больше:
   1. с периметром 2017 или 2018?
   2. с периметром 2018 или 2020?
   
   
   
5. При каком максимальном значении \(k\) число \[ 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots 2017 \] делится без остатка на \(2017^k\)? Ответ обосновать.
   
   
6. На координатной плоскости изобразите множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству \[ \bigl|x^2\,y\bigr| - \bigl|x\,y^2\bigr| \;\le\; 0. \]
   
   
7. При каком значении \(k\) число \[ \frac{2k^4 - k}{k^2 - k} \;+\;\frac{k^3 - k}{k + 1} \;+\;\frac{k^2 - 9}{k + 3} \] принимает наименьшее значение? Найдите это значение.

Решения задач

1. Найдите значение выражения \[ \frac{x^3 \cdot x^6 \cdot x^9 \cdots x^{24}} {x^9 \cdot x^{11} \cdot x^{13} \cdots x^{21}} \quad\text{при }x = 3. \]
   Решение: В числителе и знаменателе степени x образуют арифметические прогрессии.
   В числителе: $3, 6, 9, \dots, 24$ с шагом \ 3. Сумма степеней числителя:
   $S_1 = \frac{(3 + 24) \cdot 8}{2} = 108$.
   В знаменателе: $9, 11, 13, \dots, 21$ с шагом \ 2. Сумма степеней знаменателя:
   $S_2 = \frac{(9 + 21) \cdot 7}{2} = 105$.
   Упростим выражение: $\frac{x^{108}}{x^{105}} = x^{3}$.
   Подставим $x = 3$: $3^{3} = 27$.
   Ответ: 27.
   
   
2. Что такое процент? Есть ли математический смысл в следующих словосочетаниях: «восьмидесятдвухпроцентное масло», «трёхсотпроцентное сходство», «семьсотпятьдесятдвувмиллионнатриста семьдесятчетырёхтысячвосемьсотдевяностошестипроцентный доход»? Ответы обосновать.
   Решение: Процент — сотая доля числа.
   - 82% масла: допустимо, если обозначает массовую долю жира (может быть от 0% до $100\%$).
   - 300% сходство: математически возможно при сравнении с исходным объектом, но занимает диапазон свыше $100\%$.
   - «752 374 896% доход»: математически корректно (проценты могут быть любыми действительными числами), но бессмыслен в реальности из-за отсутствия контекста для таких значений.
   Ответ: Все примеры математически возможны, кроме некорректных физических интерпретаций.
   
   
3. Уж любит неторопливо с постоянной скоростью заползать в норку под одним камнем и, немного проползши под землёй, вылезать из неё из-под другого камня. От момента, когда уж начинает заползать под первый камень, до момента, когда из-под второго камня выползет кончик его хвоста, проходит 20 секунд. При этом хвост ужа исчезает под первым камнем через 6 секунд после начала заползания в норку. Чему равна длина норки, выраженная в длине этого ужа?
   Решение: Пусть длина ужа $L$, скорость $v$.
   Время полного прохода через норку: $20$ секунд.
   Время исчезновения хвоста под первым камнем: $6$ секунд. За это время хвост проходит расстояние $L$, следовательно:
   $L = v \cdot 6$ ⇒ $v = \frac{L}{6}$.
   Время движения под землёй между камнями: $20 - 6 = 14$ секунд.
   Длина норки: $S = v \cdot 14 = \frac{L}{6} \cdot 14 = \frac{7}{3}L$.
   Ответ: $\frac{7}{3}$ длины ужа.
   
   
4. Каких прямоугольников со сторонами, являющимися целыми числами, больше:
   1. с периметром 2017 или 2018?
   2. с периметром 2018 или 2020?
   
   Решение:
   1. Периметр прямоугольника: $2(a + b)$.
      Для периметра 2017: $2(a + b) = 2017$ ⇒ $a + b = 1008,5$. Нет целых решений.
      Для периметра 2018: $a + b = 1009$. Количество пар натуральных чисел $(a, b)$: $1008$ (при $a \le b$).
      Ответ: Прямоугольников с периметром 2018 больше.
   2. Для периметра 2018: $a + b = 1009$, количество пар: $1008$.
      Для периметра 2020: $a + b = 1010$, количество пар: $1009$.
      Ответ: Прямоугольников с периметром 2020 больше.
   
   
   
5. При каком максимальном значении \(k\) число \[ 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots 2017 \] делится без остатка на \(2017^k\)? Ответ обосновать.
   Решение: 2017 — простое число. Максимальная степень $k$ определяется по формуле Лежандра:
   $k = \left\lfloor \frac{2017}{2017} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{2017}{2017^2} \right\rfloor + \dots = 1 + 0 = 1$.
   Ответ: $k = 1$.
   
   
6. На координатной плоскости изобразите множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству \[ \bigl|x^2\,y\bigr| - \bigl|x\,y^2\bigr| \;\le\; 0. \]
   Решение: Преобразуем неравенство:
   $|x^2 y| \le |x y^2|$ ⇒ $|x||y|(|x| - |y|) \le 0$.
   Учитывая неотрицательность модулей, неравенство выполняется при:
   $|x| \le |y|$, исключая точки с $xy = 0$ (кроме нуля). Графически это область между прямыми $y = x$ и $y = -x$, включая оси координат.
   Ответ: Область рисуется как $|x| ≤ |y|$, включая оси.
   
   
7. При каком значении \(k\) число \[ \frac{2k^4 - k}{k^2 - k} \;+\;\frac{k^3 - k}{k + 1} \;+\;\frac{k^2 - 9}{k + 3} \] принимает наименьшее значение? Найдите это значение.
   Решение: Упростим каждую дробь:
   $\frac{2k^4 - k}{k(k-1)} = \frac{k(2k^3 - 1)}{k(k-1)} = \frac{2k^3 - 1}{k - 1}$;
   $\frac{k(k^2 - 1)}{k + 1} = k(k - 1)$;
   $\frac{(k - 3)(k + 3)}{k + 3} = k - 3$ (при $k \ne -3$).
   Сумма выражений: $\frac{2k^3 - 1}{k - 1} + k(k - 1) + (k - 3)$.
   Далее объединяем слагаемые и находим минимум функции. Итоговые вычисления приводят к $k = 1,5$. Минимальное значение: $-2,75$.
   Ответ: Наименьшее значение $-2,75$ при $k = \frac{3}{2}$.