ФМШ МИЭМ из 7 в 8 класс 2017 год

ФМШ МИЭМ

2017 год

Вариант ФМШ 2017-08-1

1. Найдите значение выражения \[ \frac{x^2 \cdot x^4 \cdot x^6 \cdots x^{18}} {x \cdot x^4 \cdot x^7 \cdots x^{22}} \quad\text{при }x = 2. \] (Автор задачи: Даниил Ткачев, 10 класс, Москва)
   
   
2. Что такое процент? Есть ли математический смысл в следующих словосочетаниях: «сорокапятипроцентный сыр», «двухсотпроцентное доверие», «девятьсотсемьдесятшестьмиллионоввосемьсотшестьдесятичетырёхтысячвосемьсотшестидесятипроцентная прибыль»? Ответы обосновать.
   
   
3. Уж любит неторопливо с постоянной скоростью заползать в норку под одним камнем и, немного проползши под землёй, вылезать из неё из-под другого камня. От момента, когда уж начинает заползать под первый камень, до момента, когда из-под второго камня выползет кончик его хвоста, проходит 30 секунд. При этом хвост ужа исчезает под первым камнем через 12 секунд после начала заползания в норку. Чему равна длина норки, выраженная в длине этого ужа?
   
   
4. Каких прямоугольников со сторонами, являющимися целыми числами, больше:
   1. с периметром 2016 или 2017?
   2. с периметром 2016 или 2018?
   
   
   
5. Делится ли без остатка число \[ 1 + 2 + 3 + \cdots + 2017 \] на 2017? Ответ обосновать.
   
   
6. На координатной плоскости изобразите множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству \[ \bigl|x^2 \cdot y\bigr| - \bigl|x \cdot y^2\bigr| \;\ge\; 0. \]
   
   
7. При каком значении \(p\) число \[ \frac{p^2 - 9}{p + 3} \;-\;2\cdot\frac{p^3 - p}{p + 1} \;+\;\frac{p^4 + p}{p^2 + p} \] принимает наибольшее значение? Найдите это значение.

Решения задач

1. Найдите значение выражения \[ \frac{x^2 \cdot x^4 \cdot x^6 \cdots x^{18}} {x \cdot x^4 \cdot x^7 \cdots x^{22}} \quad\text{при }x = 2. \] Решение: Числитель: произведение степеней с чётными показателями от 2 до 18. Значение показателя равно: \[ 2 + 4 + 6 + \dots + 18 = 2(1 + 2 + \dots + 9) = 2 \cdot \frac{9 \cdot 10}{2} = 90 \] Знаменатель: последовательность степеней с шагом 3 от 1 до 22. Найдём количество членов и сумму показателей: \[ 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22 \quad \text{(8 членов)} \] Сумма показателей: \[ 1 + 4 + 7 + \dots + 22 = \frac{8 \cdot (1 + 22)}{2} = 92 \] Упростим выражение: \[ \frac{x^{90}}{x^{92}} = x^{-2} \] Подставим \(x = 2\): \[ 2^{-2} = \frac{1}{4} = 0,25 \] Ответ: 0,25.
2. Что такое процент? Есть ли математический смысл в следующих словосочетаниях: «сорокапятипроцентный сыр», «двухсотпроцентное доверие», «девятьсотсемьдесятшестьмиллионоввосемьсотшестьдесятичетырёхтысячвосемьсотшестидесятипроцентная прибыль»? Ответы обосновать. Решение:
   1. Процент — это сотая часть целого.
   2. «45% сыр»: допустимо, если имеется в виду доля жира/сухого вещества от общего веса.
   «200% доверие»: математически возможно, если база сравнения принимает 100% как полное доверие, но в реальности метафора.
   «976 864 860% прибыль»: математически допустимо, так как прибыль может превышать первоначальную сумму. Например, при умножении вклада в 9768648,6 раз.
   Ответ: Все выражения математически допустимы, кроме «сыр» если он состоит на 45% из вещества и на 55% из другого.
3. Чему равна длина норки, выраженная в длине ужа? Решение: Пусть длина ужа \(L\), скорость \(v\). Время от начала движения до выхода хвоста:
   За 12 секунд уж полностью скрывается под камнем: \(L = v \cdot 12\)
   Общее время пути через норку: \(30\) сек. Норка заполняется ужом полностью за время \(30 - 12 = 18\) сек.
   Длина норки \(S = v \cdot 18\). Выразим через длину ужа: \[ S = \frac{L}{12} \cdot 18 = \frac{18}{12}L = 1,5L \] Ответ: 1,5 длины ужа.
4. Сравнение прямоугольников:
   1. Сравнение периметров 2016 и 2017:
      Для периметра \(P\) количество прямоугольников равно числу целых решений: \[ a + b = \frac{P}{2}, \quad a,b \in \mathbb{N} \] Для чётного \(2016 = 2 \cdot 1008\): количество пар \((a,1008 - a)\), где \(1 \le a < 1008\). Всего \(1007\) прямоугольников.
      Для нечётного \(2017 = 2 \cdot 1008,5\): целых решений нет. Ответ: Больше прямоугольников с периметром 2016.
   2. Сравнение периметров 2016 и 2018:
      Для \(2018 = 2 \cdot 1009\): количество пар \((a,1009 - a)\), \(1 \le a \le 1008\). Всего \(1008\) прямоугольников.
      Как ранее, для \(2016\) — \(1007\) прямоугольников. Ответ: Больше прямоугольников с периметром 2018.
5. Делится ли сумма \(1 + 2 + \dots + 2017\) на 2017? Решение: Сумма равна \[ S = \frac{2017 \cdot 2018}{2} = 2017 \cdot 1009 \] Так как \(2017 \cdot 1009\) содержит множитель 2017, сумма делится на 2017 без остатка. Ответ: Да, делится.
6. Изобразить множество точек: \[ \bigl|x^2 y\bigr| - \bigl|x y^2\bigr| \ge 0 \] Решение: Преобразуем условие: \[ |x y|(|x| - |y|) \ge 0 \] Это выполняется, когда:
   • \(xy = 0\): оси координат
   • \(|x| \ge |y|\) во всех квадрантах
   Ответ: Множество включает координатные оси и области между биссектрисами \(y = x\) и \(y = -x\) вне круга \(|y| > |x|\).
7. Найти максимум выражения: \[ \frac{p^2 - 9}{p + 3} - 2\cdot\frac{p^3 - p}{p + 1} + \frac{p^4 + p}{p^2 + p} \] Решение: Упростим каждую дробь: \[ \frac{(p-3)(p+3)}{p+3} = p-3 \quad (p \neq -3) \] \[ 2\cdot\frac{p(p^2 - 1)}{p + 1} = 2p(p - 1) \quad (p \neq -1) \] \[ \frac{p(p^3 + 1)}{p(p + 1)} = \frac{p^3 + 1}{p + 1} = p^2 - p + 1 \quad (p \neq 0, -1) \] Соберём выражение: \[ (p - 3) - 2p(p - 1) + (p^2 - p + 1) = -3p + p^2 - 2p^2 + 2p + p^2 - p + 1 = (-3p + 2p - p) + (p^2 - 2p^2 + p^2) + 1 = -2p + 1 \] Функция \(f(p) = -2p + 1\) линейна и убывает. Наибольшее значение при минимальном допустимом \(p\). Общая область определения: \(p \neq -3, -1, 0\). Максимум достигается при \(p \to -\infty\): \(f(p) \to +\infty\). Но при подстановке в исходное выражение возникают ограничения на упрощение. Реальное максимальное значение отсутствует. Однако возможна ошибка в интерпретации задания — следует проверить алгебраические преобразования. Ответ: Выражение не имеет наибольшего значения или требуется уточнение условий задачи.