ФМШ МИЭМ из 7 в 8 класс 2015 год

ФМШ МИЭМ

2015 год

Вариант ФМШ2015-III-08-2

1. Представьте многочлен $3 x^{3}+7 x^{2}+9 x+6$ в виде многочлена $a y^{3}+b y^{2}+c y+d$, где $y=x+1$.
2. 1. Постройте график функции: $y=\frac{8-x}{x-4}$
   2. Какой формулой будет выражена функция, каждая точка графика которой на 3 единицы ниже графика функции, приведённой в предыдущем пункте?
3. Если от столько без полстолько взять треть, отнять от неё её четверть, а потом добавить пятую часть исходного столько, то получится ровно 52 . Сколько составляет исходное столько?
4. Какие углы называются вертикальными? Могут ли два вертикальных угла одновременно быть вертикальными некоторому третьему углу? Что можно сказать о вертикальных углах, сумма величин которых равна величине развёрнутого угла?
5. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит его противоположную сторону в отношении $2: 1$, считая от вершины тупого угла. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 96 см.
6. Натуральное число $a$ увеличили на 1 , при этом его квадрат увеличился на 505 . Чему равно $a$?
7. Решите неравенство: $2 \cdot|5-x|+3-2 x>|x-5|$

Решения задач

1. При каких значениях $a, b, c, d$ следующее равенство является тождеством: $$ 5 x^{3}-32 x^{2}+75 x-71=a \cdot(x-2)^{3}+b \cdot(x-2)^{2}+c \cdot(x-2)+d ? $$ Решение: Заменим $x = t + 2$: $$ (t+2)^3 = t^3 + 6t^2 + 12t + 8 $$ $$ (t+2)^2 = t^2 + 4t + 4 $$ $$ 5(t+2)^3 = 5t^3 + 30t^2 + 60t + 40 $$ $$ b(t+2)^2 = bt^2 + 4bt + 4b $$ $$ c(t+2) = ct + 2c $$ Суммируем: $$ a(t^3) + (b + 3 \cdot 2 \cdot a)t^2 + (c + 2 \cdot 3 \cdot a \cdot 2 + b \cdot 2) t + (d + ...) $$ Правый многочлен должен совпадать с левым: \begin{align*} a &= 5 \\ -54a + b &= -32 \Rightarrow b = 22 \\ 168a - 20b + c &= 75 \Rightarrow c = 17 \\ -124a + 44b - 4c + d &= -71 \Rightarrow d = 7 \end{align*} Ответ: $a = 5$, $b = 22$, $c = 17$, $d = 7$.
2. 1. Постройте график функции: $y=\frac{6-x}{x-3}$ Решение: Упростим: $$ y = \frac{6-x}{x-3} = \frac{-(x-3)+3}{x-3} = -1 + \frac{3}{x-3} $$ График — гипербола с асимптотами $x=3$, $y=-1$ и ветвями в противоположных четвертях относительно центра $(3, -1)$.
   2. Какой формулой будет выражена функция, каждая точка графика которой на 2 единицы выше? Решение: $y = -1 + \frac{3}{x-3} + 2 = 1 + \frac{3}{x-3}$. Ответ: $y = \frac{x}{x-3}$ (проверка: $\frac{6-x}{x-3} + 2 = \frac{6-x + 2x -6}{x-3} = \frac{x}{x-3}$).
3. Если от столько да полстолько взять четверть, добавить к ней её треть, а потом отнять пятую часть исходного столько, то получится ровно 45. Сколько составляет исходное столько? Решение: Пусть "столько" = $x$. Тогда: $$ \frac{1}{4}(1,5x) + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}(1,5x) - \frac{1}{5}x = 45 $$ $$ 0,375x + 0,125x - 0,2x = 45 \quad \Rightarrow \quad 0,3x = 45 \quad \Rightarrow \quad x = 150 $$ Ответ: 150.
4. Какие углы называются смежными? Может ли один угол иметь два смежных? Если да, то как они связаны друг с другом? Что можно сказать о смежных углах, которые равны друг другу? Решение: Смежные углы — два угла с общей стороной, сумма которых равна $180^\circ$. Один угол может иметь только два смежных угла при развернутом угле (сумма трёх как 180). Если смежные углы равны, то каждый равен $90^\circ$ (прямые). Ответ: Смежные углы суммарно $180^\circ$, равные смежные — прямые.
5. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит его противоположную сторону в отношении $3: 2$, считая от вершины острого угла. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен $80 \mathrm{~cm}$. Решение: Пусть стороны $a$ и $b$, биссектриса делит сторону $a$ на отрезки $3k$ и $2k$. По свойству биссектрисы: $$ \frac{3k}{2k} = \frac{b}{a} \quad \Rightarrow \quad \frac{3}{2} = \frac{b}{a} \quad \Rightarrow \quad b = 1,5a $$ Периметр: $$ 2(a + 1,5a) = 80 \quad \Rightarrow \quad 5a = 80 \quad \Rightarrow \quad a = 16 \text{ см}, \quad b = 24 \text{ см} $$ Ответ: 16 см и 24 см.
6. Натуральное число а увеличили на 1, при этом его квадрат увеличился на 1001 . Чему равно $a$? Решение: $$ (a + 1)^2 - a^2 = 1001 \quad \Rightarrow \quad 2a + 1 = 1001 \quad \Rightarrow \quad a = 500 $$ Ответ: 500.
7. Решите неравенство: $|x-3|-2 x+5>2 \cdot|3-x|$ Решение: $$ |x-3| -2x +5 > 2|x-3| \quad \Rightarrow \quad -2x +5 > |x-3| $$ Рассмотрим два случая:
   • $x \geq 3$: $-2x +5 > x-3 \quad \Rightarrow \quad -3x > -8 \quad \Rightarrow \quad x < \frac{8}{3}$ — решений нет.
   • $x -(x-3) \quad \Rightarrow \quad -2x +5 > -x +3 \quad \Rightarrow \quad -x > -2 \quad \Rightarrow \quad x < 2
   Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.