ФМШ МИЭМ из 7 в 8 класс 2015 год

ФМШ МИЭМ

2015 год

Вариант ФМШ2015-III-08-2

1. Представьте многочлен $3 x^{3}+7 x^{2}+9 x+6$ в виде многочлена $a y^{3}+b y^{2}+c y+d$, где $y=x+1$.
2. 1. Постройте график функции: $y=\frac{8-x}{x-4}$
   2. Какой формулой будет выражена функция, каждая точка графика которой на 3 единицы ниже графика функции, приведённой в предыдущем пункте?
3. Если от столько без полстолько взять треть, отнять от неё её четверть, а потом добавить пятую часть исходного столько, то получится ровно 52 . Сколько составляет исходное столько?
4. Какие углы называются вертикальными? Могут ли два вертикальных угла одновременно быть вертикальными некоторому третьему углу? Что можно сказать о вертикальных углах, сумма величин которых равна величине развёрнутого угла?
5. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит его противоположную сторону в отношении $2: 1$, считая от вершины тупого угла. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 96 см.
6. Натуральное число $a$ увеличили на 1 , при этом его квадрат увеличился на 505 . Чему равно $a$?
7. Решите неравенство: $2 \cdot|5-x|+3-2 x>|x-5|$

Решения задач

1. Представьте многочлен $3 x^{3}+7 x^{2}+9 x+6$ в виде многочлена $a y^{3}+b y^{2}+c y+d$, где $y=x+1$.
   Решение: Выполним замену переменной $x = y - 1$:
   $3(y-1)^3 + 7(y-1)^2 + 9(y-1) + 6$
   
   Раскроем скобки:
   $3(y^3 - 3y^2 + 3y - 1) + 7(y^2 - 2y + 1) + 9y - 9 + 6$
   
   $= 3y^3 -9y^2 +9y -3 +7y^2 -14y +7 +9y -9 +6$
   
   Приведём подобные:
   $3y^3 + (-9+7)y^2 + (9-14+9)y + (-3+7-9+6)$
   
   $= 3y^3 -2y^2 +4y +1$
   
   Ответ: $3y^3 -2y^2 +4y +1$.
2. 1. Постройте график функции: $y=\frac{8-x}{x-4}$
      Решение: Упростим выражение:
      $y = \frac{8 - x}{x - 4} = \frac{-(x - 8)}{x - 4} = -1 \cdot \frac{x - 8}{x - 4}$
      
      Вертикальная асимптота: $x = 4$
      Горизонтальная асимптота: $y = -1$
      Пересечение с осями:
      При $x = 0$: $y = \frac{8}{-4} = -2$
      При $y = 0$: $8 - x = 0 \Rightarrow x = 8$
      
      График представляет собой гиперболу с центром в точке пересечения асимптот $(4, -1)$.
   2. Какой формулой будет выражена функция, каждая точка графика которой на 3 единицы ниже графика функции, приведённой в предыдущем пункте?
      Решение: Для смещения графика вниз на 3 единицы, к функции добавляем $-3$:
      $y = \frac{8 - x}{x - 4} - 3$
      
      Ответ: $y = \frac{8 - x}{x - 4} - 3$.
3. Если от столько без полстолько взять треть, отнять от неё её четверть, а потом добавить пятую часть исходного столько, то получится ровно 52 . Сколько составляет исходное столько?
   Решение: Пусть исходное число равно $S$. По условию:
   $\left( \frac{S}{2} \cdot \frac{1}{3} \right) - \left( \frac{S}{6} \cdot \frac{1}{4} \right) + \frac{S}{5} = 52$
   
   $\frac{S}{6} - \frac{S}{24} + \frac{S}{5} = 52$
   
   Упростим: $S\left( \frac{4}{24} - \frac{1}{24} + \frac{24}{120} \right) = 52$
   
   $\frac{3}{24} + \frac{24}{120} = \frac{1}{8} + \frac{1}{5} = \frac{13}{40}$
   
   $\frac{13}{40}S = 52 \Rightarrow S = 52 \cdot \frac{40}{13} = 160$
   
   Ответ: 160.
4. Какие углы называются вертикальными? Могут ли два вертикальных угла одновременно быть вертикальными некоторому третьему углу? Что можно сказать о вертикальных углах, сумма величин которых равна величине развёрнутого угла?
   Ответ:
   1. Вертикальными называются два угла, образованные пересечением двух прямых, у которых стороны одного являются продолжениями сторон другого.
   2. Нет, вертикальные углы всегда образуются парой пересекающихся прямых, третий угол не может быть вертикальным одновременно к обоим.
   3. Если сумма двух вертикальных углов равна $180^\circ$, то каждый из них равен $90^\circ$ (прямые перпендикулярны).
5. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит его противоположную сторону в отношении $2: 1$, считая от вершины тупого угла. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 96 см.
   Решение: Пусть $ABCD$ — параллелограмм, $AE$ — биссектриса тупого угла $A$, пересекающая $BC$ в точке $E$. По свойству биссектрисы:
   $\frac{BE}{EC} = \frac{AB}{AD}$
   
   По условию $\frac{BE}{EC} = \frac{2}{1}$, значит $AB = 2AD$. Обозначим $AD = b$, тогда $AB = 2b$. Периметр:
   $2(AB + AD) = 96 \Rightarrow 3b = 48 \Rightarrow b = 16$ см
   
   Стороны: $AB = CD = 32$ см, $BC = AD = 16$ см
   
   Ответ: 32 см и 16 см.
6. Натуральное число $a$ увеличили на 1 , при этом его квадрат увеличился на 505 . Чему равно $a$?
   Решение: Уравнение:
   $(a + 1)^2 = a^2 + 505$
   
   $a^2 + 2a + 1 = a^2 + 505$
   
   $2a = 504 \Rightarrow a = 252$
   
   Ответ: 252.
7. Решите неравенство: $2 \cdot|5-x|+3-2 x>|x-5|$
   Решение: Упростим:
   $2|5 - x| - |x - 5| > 2x - 3$
   
   Заметим, что $|5 - x| = |x - 5|$. Пусть $|x - 5| = t$, тогда:
   $2t - t > 2x - 3 \Rightarrow t > 2x - 3$
   
   Возвращаемся к исходной переменной:
   $|x - 5| > 2x - 3$
   
   Рассмотрим два случая:
   1. При $x \geq \frac{3}{2}$ (чтобы $2x -3 \geq 0$):
      $x - 5 > 2x -3 \Rightarrow x < -2$ — нет решений.
      или $5 - x > 2x -3 \Rightarrow 8 > 3x \Rightarrow x < \frac{8}{3}$
      С учётом $x \geq \frac{3}{2}$ получаем интервал $\frac{3}{2} \leq x < \frac{8}{3}$.
   2. При $x < \frac{3}{2}$ (правая часть отрицательна):
      Неравенство $|x -5| > 2x -3$ выполняется для всех $x < \frac{3}{2}$.
   Общее решение: $x < \frac{8}{3}$
   
   Ответ: $x \in (-\infty; \frac{8}{3})$.