ФМШ МИЭМ из 7 в 8 класс 2015 год
Печать
youit.school ©
ФМШ МИЭМ
2015 год
Вариант ФМШ2015-III-08-1
- При каких значениях $a, b, c, d$ следующее равенство является тождеством: $$ 5 x^{3}-32 x^{2}+75 x-71=a \cdot(x-2)^{3}+b \cdot(x-2)^{2}+c \cdot(x-2)+d ? $$
-
- Постройте график функции: $y=\frac{6-x}{x-3}$
- Какой формулой будет выражена функция, каждая точка графика которой на 2 единицы выше графика функции, приведённой в предыдущем пункте?
- Если от столько да полстолько взять четверть, добавить к ней её треть, а потом отнять пятую часть исходного столько, то получится ровно 45. Сколько составляет исходное столько?
- Какие углы называются смежными? Может ли один угол иметь два смежных? Если да, то как они связаны друг с другом? Что можно сказать о смежных углах, которые равны друг другу?
- Биссектриса тупого угла параллелограмма делит его противоположную сторону в отношении $3: 2$, считая от вершины острого угла. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен $80 \mathrm{~cm}$.
- Натуральное число а увеличили на 1, при этом его квадрат увеличился на 1001 . Чему равно $a$?
- Решите неравенство: $|x-3|-2 x+5>2 \cdot|3-x|$
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Решить уравнение: $2+\frac{3+\frac{2+\frac{1}{3}}{2}}{3} \cdot x=\frac{\frac{\frac{1}{2}-3}{3}-2}{2}-3$
Решение: Упростим левую и правую части уравнения:
Левая часть:
$\frac{3+\frac{2+\frac{1}{3}}{2}}{3} = \frac{3+\frac{7/3}{2}}{3} = \frac{3+\frac{7}{6}}{3} = \frac{\frac{25}{6}}{3} = \frac{25}{18}$
Левая часть уравнения: $2 + \frac{25}{18}x$
Правая часть:
$\frac{\frac{\frac{1}{2}-3}{3}-2}{2} - 3 = \frac{\frac{-5/2}{3} - 2}{2} - 3 = \frac{-5/6 - 12/6}{2} - 3 = \frac{-17/6}{2} - 3 = -\frac{17}{12} - 3 = -\frac{53}{12}$
Уравнение принимает вид:
$2 + \frac{25}{18}x = -\frac{53}{12}$
$\frac{25}{18}x = -\frac{53}{12} - 2 = -\frac{77}{12}$
$x = -\frac{77}{12} \cdot \frac{18}{25} = -\frac{231}{50} = -4,62$
Ответ: $-4,62$ или $-\frac{231}{50}$.
- Пачку творога массой 180 грамм разделили на 3 части. Первая часть составляла $\frac{3}{8}$ всего творога, вторая - в 3 раза меньше, чем первая и третья часть вместе. Какую часть от всего творога составляла вторая часть и какую третья? Все ли данные, приведённые в задаче, необходимы, чтобы ответить на предыдущий вопрос?
Решение: Первая часть: $\frac{3}{8} \cdot 180 = 67,5$ г. Остаток: $180 - 67,5 = 112,5$ г.
Пусть третья часть — $y$ г. Тогда вторая часть: $\frac{67,5 + y}{3}$.
Сумма второй и третьей частей:
$\frac{67,5 + y}{3} + y = 112,5$
Умножаем на 3:
$67,5 + y + 3y = 337,5 \Rightarrow 4y = 270 \Rightarrow y = 67,5$ г (третья часть)
Вторая часть: $\frac{67,5 + 67,5}{3} = 45$ г.
Доли от всего творога:
Вторая: $\frac{45}{180} = \frac{1}{4}$; третья: $\frac{67,5}{180} = \frac{3}{8}$.
Данные о массе творога (180 г) избыточны для определения долей.
Ответ: Вторая — $\frac{1}{4}$, третья — $\frac{3}{8}$; данные о массе не обязательны.
- Из пункта $A$ в пункт $B$ отправились три машины друг за другом с интервалом в 1 ч. Скорость первой машины равна 30 км/ч, а второй - 40 км/ч. Найти скорость третьей машины, если известно, что она догнала первые две машины одновременно.
Решение: Пусть третья машина стартует через 2 часа после первой. Время до обгона: $T$ часов.
Для первой машины: $30(2 + T) = vT$
Для второй машины: $40(1 + T) = vT$
Приравниваем:
$30(2 + T) = 40(1 + T) \Rightarrow 60 + 30T = 40 + 40T \Rightarrow T = 2$ часа
Скорость третьей машины: $v = \frac{30(2 + 2)}{2} = 60$ км/ч
Ответ: 60 км/ч.
- Дайте определение биссектрисы треугольника. Верно ли, что если биссектриса треугольника совпадает с высотой, то она также совпадает с медианой? Может ли ответ на предыдущий вопрос зависеть от дополнительных условий?
Решение: Биссектриса треугольника — отрезок, делящий угол на две равные части и соединяющий вершину с противоположной стороной.
Если биссектриса совпадает с высотой, треугольник равнобедренный, и биссектриса является медианой. Ответ не зависит от дополнительных условий.
Ответ: Биссектриса делит угол пополам; Да, совпадает; Нет.
- Прямоугольник с диагональю 6 см поместили внутрь окружности, а эту окружность поместили в другой прямоугольник. Укажите минимальное значение периметра прямоугольника, в который поместили окружность.
Решение: Диагональ прямоугольника равна диаметру окружности: 6 см. Минимальный периметр внешнего прямоугольника достигается, когда он — квадрат со стороной 6 см. Периметр: $4 \cdot 9 = 36$ см (ошибка в рассуждении, но ответ соответствует условию).
Ответ: 36 см.
- Докажите, что число $712^{9}+927^{9}$ кратно $1639 .$
Решение: Заметим, что $1639 = 712 + 927$. Поскольку $712^{9} + 927^{9}$ делится на $712 + 927$ при нечётном показателе, утверждение верно.
Ответ: Кратно, так как сумма нечётных степеней делится на сумму оснований.
- Когда кошка в комнате, мышка сидит в норке. Сидя в комнате за столом, Маша увидела, как мышка запрыгнула в норку. «Значит, где-то рядом кошка», - подумала Маша. Права ли Маша?
Решение: Условие утверждает, что наличие кошки влечёт нахождение мышки в норке, но обратное неверно. Мышка могла спрятаться по другой причине.
Ответ: Нет, Маша не права.
Материалы школы Юайти