ФМШ МИЭМ из 7 в 8 класс 2015 год

ФМШ МИЭМ

2015 год

Вариант ФМШ2015-II-08-1

1. Решить уравнение: $2-\frac{3-\frac{2-\frac{1}{3}}{2}}{3} \cdot x=\frac{\frac{\frac{1}{2}+3}{3}+2}{2}+3$
2. Пол-литра молока полностью перелили из кувшина в 3 стакана. В первый стакан вошло $\frac{2}{9}$ всего молока, во второй - в 2 раза больше, чем в первый и третий стаканы вместе. Какую часть молока перелили во второй стакан и какую в третий? Все ли данные, приведённые в задаче, необходимы, чтобы ответить на предыдущий вопрос?
3. Из пункта $A$ в пункт $B$ отправились три машины друг за другом с интервалом в 1 ч. Скорость первой машины равна 50 км/ч, а второй $-60$ км/ч. Найти скорость третьей машины, если известно, что она догнала первые две машины одновременно.
4. Дайте определение медианы треугольника. Верно ли, что если медиана треугольника совпадает с высотой, то она также совпадает с биссектрисой? Может ли ответ на предыдущий вопрос зависеть от дополнительных условий?
5. Внутри прямоугольника со сторонами 4 и 6 см нарисовали окружность. После этого на окружности отметили несколько точек и соединили все соседние точки, в результате чего получился многоугольник. Укажите минимальное значение, которое точно не сможет превысить периметр этого многоугольника.
6. Докажите, что число $2015^{9}-529^{9}$ кратно $1486 .$
7. Петин кот перед дождём всегда чихает. Сегодня кот чихнул. «Значит, скоро будет дождь»,- подумал Петя. Прав ли Петя?

Решения задач

1. Решить уравнение: $2-\frac{3-\frac{2-\frac{1}{3}}{2}}{3} \cdot x=\frac{\frac{\frac{1}{2}+3}{3}+2}{2}+3$
   Решение: Упростим левую и правую части уравнения отдельно. Левая часть: \[ 2 - \frac{3 - \frac{2 - \frac{1}{3}}{2}}{3} \cdot x = 2 - \frac{3 - \frac{\frac{5}{3}}{2}}{3} \cdot x = 2 - \frac{3 - \frac{5}{6}}{3} \cdot x = 2 - \frac{\frac{13}{6}}{3} \cdot x = 2 - \frac{13}{18}x \] Правая часть: \[ \frac{\frac{\frac{1}{2} + 3}{3} + 2}{2} + 3 = \frac{\frac{\frac{7}{2}}{3} + 2}{2} + 3 = \frac{\frac{7}{6} + 2}{2} + 3 = \frac{\frac{19}{6}}{2} + 3 = \frac{19}{12} + 3 = \frac{55}{12} \] Составим уравнение: \[ 2 - \frac{13}{18}x = \frac{55}{12} \] \[ -\frac{13}{18}x = \frac{55}{12} - 2 = \frac{31}{12} \] \[ x = -\frac{31}{12} \cdot \frac{18}{13} = -\frac{93}{26} \] Ответ: $-\frac{93}{26}$.
   
   
2. Пол-литра молока полностью перелили из кувшина в 3 стакана. В первый стакан вошло $\frac{2}{9}$ всего молока, во второй — в 2 раза больше, чем в первый и третий стаканы вместе. Какую часть молока перелили во второй стакан и какую в третий? Все ли данные, приведённые в задаче, необходимы, чтобы ответить на предыдущий вопрос?
   Решение: Пусть общий объем молока равен 1 (части). Тогда: \[ \text{1-й стакан} = \frac{2}{9} \] \[ \text{2-й стакан} = 2 \cdot (\text{1-й} + \text{3-й}) = 2 \cdot \left(\frac{2}{9} + x\right) \] Сумма всех частей: \[ \frac{2}{9} + 2\left(\frac{2}{9} + x\right) + x = 1 \] \[ \frac{2}{9} + \frac{4}{9} + 2x + x = 1 \] \[ \frac{6}{9} + 3x = 1 \Rightarrow 3x = \frac{3}{9} \Rightarrow x = \frac{1}{9} \] Тогда: \[ \text{2-й стакан} = 2\left(\frac{2}{9} + \frac{1}{9}\right) = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \] Объем молока (0,5 л) не использовался в расчетах.
   Ответ: $\frac{2}{3}$ во второй, $\frac{1}{9}$ в третий; данные о литрах не нужны.
   
   
3. Из пункта $A$ в пункт $B$ отправились три машины друг за другом с интервалом в 1 ч. Скорость первой машины равна 50 км/ч, а второй — 60 км/ч. Найти скорость третьей машины, если известно, что она догнала первые две машины одновременно.
   Решение: Пусть $v$ — скорость третьей машины. Время до встречи с первой машиной: \[ \frac{50(t + 2)}{v - 50} = t \] Время до встречи со второй машиной: \[ \frac{60(t + 1)}{v - 60} = t \] Решим систему уравнений: \[ 50(t + 2) = t(v - 50) \quad (1) \] \[ 60(t + 1) = t(v - 60) \quad (2) \] Вычтем (1) из (2): \[ 10t + 60 - 100 = 10t \Rightarrow t = 4 \text{ ч} \] Подставим $t = 4$ в (1): \[ 50 \cdot 6 = 4(v - 50) \Rightarrow 300 = 4v - 200 \Rightarrow v = 125 \text{ км/ч} \] Ответ: 75 км/ч.
   
   
4. Дайте определение медианы треугольника. Верно ли, что если медиана треугольника совпадает с высотой, то она также совпадает с биссектрисой? Может ли ответ на предыдущий вопрос зависеть от дополнительных условий?
   Решение: Медиана — отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В равнобедренном треугольнике медиана, высота и биссектриса совпадают. В произвольном треугольнике это неверно. Например, в треугольнике со сторонами 5, 5, 6 медиана к основанию совпадает с высотой, но не является биссектрисой.
   Ответ: Медиана делит сторону пополам; Нет, не всегда; Да, зависит от типа треугольника.
   
   
5. Внутри прямоугольника со сторонами 4 и 6 см нарисовали окружность. После этого на окружности отметили несколько точек и соединили все соседние точки, в результате чего получился многоугольник. Укажите минимальное значение, которое точно не сможет превысить периметр этого многоугольника.
   Решение: Максимально возможный периметр многоугольника на окружности не превышает длину окружности. Диаметр окружности равен меньшей стороне прямоугольника — 4 см. Длина окружности: \[ \pi \cdot d = 4\pi \text{ см} \] Ответ: $4\pi$ см.
   
   
6. Докажите, что число $2015^{9}-529^{9}$ кратно $1486 .$
   Решение: Разложим 1486 на множители: $1486 = 2 \cdot 743$. Заметим, что $2015 - 529 = 1486$. Используем формулу разности степеней: \[ a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + b^{n-1}) \] Следовательно, $2015^9 - 529^9$ делится на $2015 - 529 = 1486$.
   Ответ: Кратно, так как разность оснований равна 1486.
   
   
7. Петин кот перед дождём всегда чихает. Сегодня кот чихнул. «Значит, скоро будет дождь»,- подумал Петя. Прав ли Петя?
   Решение: Утверждение «Если дождь, то кот чихает» не эквивалентно «Если кот чихнул, то будет дождь». Чихание кота — необходимое, но не достаточное условие для дождяшилшилшил логическую ошибку обращения импликации.
   Ответ: Нет, не прав.