8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМШ МИЭМ из 7 в 8 класс 2015 год

Сложность:
Дата экзамена: 2015
Печать
youit.school ©

ФМШ МИЭМ


2015 год


Вариант ФМШ2015-08-2



  1. Упростите выражение: $\left(\frac{a^{\frac{3}{2}}+b^{\frac{3}{2}}}{a-b}-\frac{a-b}{a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}}\right) \cdot \frac{a-b}{(a b)^{\frac{1}{2}}}$
  2. Решить систему уравнений: $\left\{\begin{array}{l}x+4 \cdot|y|-8=0 \\ x+y+7=0\end{array}\right.$
  3. Сумма цифр двузначного числа равна 11. Если это число разделить на разность его цифр, то в частном получится 24 и в остатке 2. Найдите исходное число.
  4. Дайте определения тождества и тождественного преобразования. Приведите примеры тождественных и не тождественных преобразований.
  5. Меньшая сторона прямоугольника равна 16 и образует с диагоналями угол, равный $60^{\circ}$. Середины сторон прямоугольника последовательно соединены. Определить вид и периметр образовавшегося четырёхугольника.
  6. Решите уравнение: $\frac{x^{2}+8}{x^{2}-5 x+4}=\frac{6 x}{x^{2}-5 x+4}$
  7. Среди 8 внешне одинаковых шариков один легче семи других (которые одинаковы по массе). За какое минимальное число взвешиваний на чашечных весах без гирь можно гарантированно его обнаружить? Обоснуйте Ваш ответ.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Упростите выражение: $\left(\frac{a^{\frac{3}{2}}+b^{\frac{3}{2}}}{a-b}-\frac{a-b}{a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}}\right) \cdot \frac{a-b}{(a b)^{\frac{1}{2}}}$
    Решение: Преобразуем числитель первой дроби:
    $a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{a} + \sqrt{b})(a - \sqrt{ab} + b)$
    Знаменатель $a - b = (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})$. Сократим:
    $\frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(a - \sqrt{ab} + b)}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{a - \sqrt{ab} + b}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$
    Вторая дробь преобразуется как:
    $\frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = (\sqrt{a} - \sqrt{b})$
    Тогда выражение в скобках:
    $\frac{a - \sqrt{ab} + b}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} - (\sqrt{a} - \sqrt{b}) = \frac{a - \sqrt{ab} + b - (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{a - \sqrt{ab} + b - (a - 2\sqrt{ab} + b)}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$
    Умножаем на $\frac{a - b}{\sqrt{ab}}$:
    $\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} \cdot \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$
    Ответ: $\sqrt{a} + \sqrt{b}$.

  2. Решить систему уравнений: $\left\{\begin{array}{l}x+4 \cdot|y|-8=0 \\ x+y+7=0\end{array}\right.$
    Решение: Выразим $x$ из второго уравнения: $x = -y -7$. Подставим в первое:
    $-y -7 +4|y| -8 = 0 \Rightarrow 4|y| - y = 15$
    Рассмотрим два случая:
    1. $y \geq 0$: $4y - y = 15 \Rightarrow 3y = 15 \Rightarrow y = 5$. Тогда $x = -5 -7 = -12$
    2. $y < 0$: $4(-y) - y = 15 \Rightarrow -5y = 15 \Rightarrow y = -3$. Тогда $x = 3 -7 = -4$
    Проверка:
    • Для $(-12,5)$: $-12 +4\cdot5 -8 = 0$ и $-12 +5 +7 = 0$ — верно
    • Для $(-4,-3)$: $-4 +4\cdot3 -8 = 0$ и $-4 -3 +7 = 0$ — верно
    Ответ: $(-12,5)$ и $(-4,-3)$.

  3. Сумма цифр двузначного числа равна 11. Если это число разделить на разность его цифр, то в частном получится 24 и в остатке 2. Найдите исходное число.
    Решение: Пусть цифры числа $a$ и $b$, тогда:
    $\begin{cases} a + b = 11 \\ 10a + b = 24(a - b) + 2 \end{cases}$
    Из второго уравнения: $10a + b = 24a -24b +2 \Rightarrow -14a +25b = 2$
    Подставим $a = 11 - b$:
    $-14(11 - b) +25b = 2 \Rightarrow -154 +14b +25b = 2 \Rightarrow 39b = 156 \Rightarrow b = 4$
    Тогда $a = 11 -4 =7$. Число: $74$
    Проверка: $74/(7-4) =24$ с остатком 2 ($24\cdot3=72$, $74-72=2$)
    Ответ: 74.

  4. Дайте определения тождества и тождественного преобразования. Приведите примеры тождественных и не тождественных преобразований.
    Решение:
    • Тождество — равенство, верное при всех допустимых значениях переменных. Пример: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
    • Тождественное преобразование — замена выражения другим, тождественно равным. Пример: $2x +3x \to 5x$
    • Не тождественное преобразование — изменение области определения. Пример: $\frac{x^2}{x} \to x$ (теряется $x \neq 0$)


  5. Меньшая сторона прямоугольника равна 16 и образует с диагоналями угол, равный $60^{\circ}$. Середины сторон прямоугольника последовательно соединены. Определить вид и периметр образовавшегося четырёхугольника.
    Решение: Пусть $AB =16$ — меньшая сторона. Диагонали равны и пересекаются под углом $60^\circ$. Из треугольника $AOB$ (O — центр):
    $\cos60^\circ = \frac{OA^2 + OB^2 - AB^2}{2OA\cdot OB} = \frac{2OA^2 -256}{2OA^2} = \frac{1}{2} \Rightarrow OA =16$
    Диагональ $AC =32$. Большая сторона $BC = \sqrt{32^2 -16^2} =16\sqrt{3}$
    Середины сторон образуют ромб со сторонами, равными половинам диагоналей:
    Стороны ромба: $8$ и $8\sqrt{3}$. Периметр: $4 \cdot \sqrt{8^2 + (8\sqrt{3})^2} = 4 \cdot 16 =64$
    Ответ: Р64.

    64.

    64.

  6. Решите уравнение: $\frac{x^{2}+8}{x^{2}-5x+4}=\frac{6x}{x^{2}-5x+4}$
    Решение: Приравняем числители (знаменатели одинаковые и $x^2-5x+4 \neq0$):
    $x^2 +8 =6x \Rightarrow x^2 -6x +8 =0 \Rightarrow x=2$ или $x=4$
    Проверим знаменатель при этих корнях:
    При $x=2$: $4 -10 +4 =-2 \neq0$
    При $x=4$: $16 -20 +4 =0$ — недопустимый корень
    Ответ: 2.

  7. Среди 8 внешне одинаковых шариков один легче семи других (которые одинаковы по массе). За какое минимальное число взвешиваний на чашечных весах без гирь можно гарантированно его обнаружить? Обоснуйте Ваш ответ.
    Решение: Минимальное число взвешиваний — 3. Алгоритм:
    1. Разделим шары на группы 3,3,2
    2. Взвесим первые две группы:
      • Если равны — легкий шар в третьей группе (2 шарика). Сравним их между собой.
      • Если одна группа легче — легкий шар в ней. Из 3 шаров взвесим 1 и 1:
        • Если равны — легкий третий
        • Если нет — определим легкий
    Ответ: 3 взвешивания.
Материалы школы Юайти