ФМШ МИЭМ из 7 в 8 класс 2015 год
Печать
youit.school ©
ФМШ МИЭМ
2015 год
Вариант ФМШ2015-08-1
- Упростите выражение: $\left(\frac{a-x}{a^{\frac{1}{3}}-x^{\frac{1}{3}}}-\frac{a+x}{a^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{1}{3}}}\right) \cdot(a x)^{-\frac{1}{3}}$
- Решить систему уравнений: $\left\{\begin{array}{l}y+4 x+13=0 \\ 2 y-|x|+5=0\end{array}\right.$
- Среднее арифметическое двух чисел равно 185. Если одно число разделить на другое, то в частном получится 2 и в остатке 40. Найдите эти числа.
- Дайте определение многочлена. Что означает выражение «разложить многочлен на множители»? Любой ли многочлен можно разложить на множители? Обоснуйте Ваш ответ.
- Одна из сторон параллелограмма, равная 16, образует с диагоналями углы $30^{\circ}$ и $60^{\circ} .$ Середины сторон параллелограмма последовательно соединены. Определить вид и периметр образовавшегося четырёхугольника.
- Решите уравнение: $\frac{x+1}{x^{2}+x-6}=\frac{x^{2}-1}{x^{2}+x-6}$
- Из четырёх внешне одинаковых деталей одна отличается по массе от трёх остальных (масса которых одинакова), однако неизвестно, больше её масса или меньше. За какое минимальное число взвешиваний на чашечных вечах без гирь можно гарантированно выявить эту деталь? Обоснуйте Ваш ответ.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Упростите выражение: $\left(\frac{a-x}{a^{\frac{1}{3}}-x^{\frac{1}{3}}}-\frac{a+x}{a^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{1}{3}}}\right) \cdot(a x)^{-\frac{1}{3}}$
Решение:
Преобразуем числители с помощью формул разности и суммы кубов: \[ a - x = (a^{1/3})^3 - (x^{1/3})^3 = (a^{1/3} - x^{1/3})(a^{2/3} + a^{1/3}x^{1/3} + x^{2/3}), \] \[ a + x = (a^{1/3})^3 + (x^{1/3})^3 = (a^{1/3} + x^{1/3})(a^{2/3} - a^{1/3}x^{1/3} + x^{2/3}). \] После сокращения дробей получаем: \[ \frac{a - x}{a^{1/3} - x^{1/3}} = a^{2/3} + a^{1/3}x^{1/3} + x^{2/3}, \] \[ \frac{a + x}{a^{1/3} + x^{1/3}} = a^{2/3} - a^{1/3}x^{1/3} + x^{2/3}. \] Вычитаем дроби и умножаем на $(ax)^{-1/3}$: \[ \left((a^{2/3} + a^{1/3}x^{1/3} + x^{2/3}) - (a^{2/3} - a^{1/3}x^{1/3} + x^{2/3})\right) \cdot (ax)^{-1/3} = 2a^{1/3}x^{1/3} \cdot a^{-1/3}x^{-1/3} = 2. \] Ответ: $\boxed{2}$. - Решить систему уравнений: $\left\{\begin{array}{l}y + 4x + 13 = 0 \\ 2y - |x| +5 = 0\end{array}\right.$
Решение:
Из первого уравнения выразим $y$: \[ y = -4x - 13. \] Подставим во второе уравнение: \[ 2(-4x -13) - |x| +5 = 0 \implies -8x -21 - |x| = 0 \implies |x| = -8x -21. \] Рассмотрим два случая:- $x \geq 0$: $|x| = x$, уравнение $x = -8x -21$ не имеет решений.
- $x < 0$: $|x| = -x$, уравнение $-x = -8x -21 \implies 7x = -21 \implies x = -3$.
Ответ: $\boxed{x = -3,\ y = -1}$. - Среднее арифметическое двух чисел равно 185. Если одно число разделить на другое, то в частном получится 2 и в остатке 40. Найдите эти числа.
Решение:
Пусть числа $a$ и $b$, тогда: \[ \frac{a + b}{2} = 185 \implies a + b = 370, \] \[ a = 2b +40. \] Подставим $a$ в первое уравнение: \[ 2b +40 + b = 370 \implies 3b = 330 \implies b = 110, \quad a = 260. \] Проверка: $260 = 2 \cdot 110 +40$.
Ответ: $\boxed{110}$ и $\boxed{260}$. - Дайте определение многочлена. Что означает выражение «разложить многочлен на множители»? Любой ли многочлен можно разложить на множители? Обоснуйте Ваш ответ.
Решение:
Определение: Многочлен — это выражение, представленное в виде суммы одночленов.
Разложить на множители — представить его в виде произведения многочленов меньшей степени.
Любой многочлен с действительными коэффициентами можно разложить на множители первой и второй степеней (по основной теореме алгебры). Однако над полем действительных чисел не все многочлены раскладываются до линейных множителей (например, $x^2 +1$ неразложим). - Одна из сторон параллелограмма, равная 16, образует с диагоналями углы $30^{\circ}$ и $60^{\circ}$. Середины сторон параллелограмма последовательно соединены. Определить вид и периметр образовавшегося четырёхугольника.
Решение:
По теореме Вариньона, четырёхугольник из середин — параллелограмм. Диагонали исходного параллелограмма равны $16\sqrt{3}$ и $16$ (вычисляются через треугольники с углами $30^{\circ}$ и $60^{\circ}$). Стороны образованного четырёхугольника равны половине диагоналей: $8\sqrt{3}$ и $8$. Периметр: \[ 2(8\sqrt{3} +8) = 16(\sqrt{3} +1). \] Так как диагонали перпендикулярны (углы $30^{\circ}$ и $60^{\circ}$ в сумме $90^{\circ}$), полученный четырёхугольник — прямоугольник.
Ответ: $\boxed{\text{Прямоугольник, периметр } 16(\sqrt{3} +1)}$. - Решите уравнение: $\frac{x+1}{x^{2}+x-6} = \frac{x^{2}-1}{x^{2}+x-6}$
Решение:
Умножим обе части на $x^2 +x -6$ ($x \neq -3, 2$): \[ x +1 = x^2 -1 \implies x^2 -x -2 =0. \] Корни: $x = 2$ (не подходит из-за знаменателя) и $x = -1$.
Ответ: $\boxed{x = -1}$. - Из четырёх внешне одинаковых деталей одна отличается по массе. За какое минимальное число взвешиваний можно гарантированно выявить эту деталь?
Решение:
**Минимальное число взвешиваний — 2**.
**Обоснование:**- Взвешиваем 1 и 2 детали:
- Если равны — брак среди 3 или 4.
- Если не равны — брак в 1 или 2.
- Если равны в первом шаге: взвешиваем 1 и 3.
- Равны → брак в 4.
- Не равны → брак в 3.
- Если не равны в первом шаге: взвешиваем 1 и 3.
- Равны → брак в 2.
- Не равны → брак в 1.
Ответ: $\boxed{2}$. - Взвешиваем 1 и 2 детали:
Материалы школы Юайти