8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМШ МИЭМ из 7 в 8 класс 2014 год

Сложность:
Дата экзамена: 2014
Печать
youit.school ©

ФМШ МИЭМ


2014 год


Вариант ФМШ2014-II-08-1



  1. Упростите выражение: $\left(9 x^{2}+1+\frac{1}{9 x^{2}-1}\right):\left(9 x^{2}+\frac{81 x^{4}}{1-9 x^{2}}\right)$
  2. Решить систему уравнений: $\left\{\begin{array}{l}2 x-5 y=9 \\ 4 x+2 y=6\end{array}\right.$
  3. На полке стояло 26 волшебных книг по заклинаниям, все они были прочитаны. Из них 4 прочитали и Гарри Поттер, и Рон. Гермиона прочитала 7 книг, которые не читали ни Гарри Поттер, ни Рон, и две книги, которые читал также Гарри Поттер, но не читал Рон. Всего Гарри Поттер прочитал 11 книг. Сколько книг прочитал Рон?
  4. Дайте определения простого и составного чисел. Может ли произведение простых чисел быть простым числом? Может ли частное составных чисел быть простым числом?
  5. В треугольнике $A B C$ проведены биссектрисы из вершин $A$ и $C$, пересекающиеся в точке $M$. Найдите оставшиеся углы треугольника $A B C$, если известно, что его угол $B$ равен $80^{\circ}$, а угол $A M B$ равен $120^{\circ}$.
  6. От станции $A$ до станции $B$ поезд проехал со средней скоростью 60 км/ч, а обратно возвращался со скоростью 30 км/ч. Чему оказалась равна его средняя скорость?
  7. При делении на 7 целое число $a$ даёт в остатке $5 .$ Какой остаток от деления на 7 получится при делении числа $a^{3}-5 a$?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Упростите выражение: $\left(9 x^{2}+1+\frac{1}{9 x^{2}-1}\right):\left(9 x^{2}+\frac{81 x^{4}}{1-9 x^{2}}\right)$
    Решение: Упростим сначала числитель:
    $9x^{2} + 1 + \frac{1}{9x^{2} - 1} = \frac{(9x^{2} + 1)(9x^{2} - 1) + 1}{9x^{2} - 1} = \frac{81x^{4} - 1 + 1}{9x^{2} - 1} = \frac{81x^{4}}{9x^{2} - 1}$.
    Знаменатель преобразуем:
    $9x^{2} + \frac{81x^{4}}{1 - 9x^{2}} = \frac{9x^{2}(1 - 9x^{2}) + 81x^{4}}{1 - 9x^{2}} = \frac{9x^{2} - 81x^{4} + 81x^{4}}{1 - 9x^{2}} = \frac{9x^{2}}{1 - 9x^{2}}$.
    Теперь разделим числитель на знаменатель:
    $\frac{81x^{4}}{9x^{2} - 1} : \frac{9x^{2}}{1 - 9x^{2}} = \frac{81x^{4}}{9x^{2} - 1} \cdot \frac{1 - 9x^{2}}{9x^{2}} = -9x^{2}$.
    Ответ: $-9x^{2}$.
  2. Решить систему уравнений: $\left\{\begin{array}{l}2 x-5 y=9 \\ 4 x+2 y=6\end{array}\right.$
    Решение: Умножим первое уравнение на 2:
    $4x - 10y = 18$.
    Вычтем его из второго уравнения:
    $(4x + 2y) - (4x - 10y) = 6 - 18$
    $12y = -12 \Rightarrow y = -1$.
    Подставим $y = -1$ в первое уравнение:
    $2x - 5(-1) = 9 \Rightarrow 2x + 5 = 9 \Rightarrow x = 2$.
    Ответ: $x=2$, $y=-1$.
  3. На полке стояло 26 волшебных книг по заклинаниям, все они были прочитаны. Из них 4 прочитали и Гарри Поттер, и Рон. Гермиона прочитала 7 книг, которые не читали ни Гарри Поттер, ни Рон, и две книги, которые читал также Гарри Поттер, но не читал Рон. Всего Гарри Поттер прочитал 11 книг. Сколько книг прочитал Рон?
    Решение: Построим диаграмму Венна:
    - Книги, прочитанные **только Гарри**: $11 - 4 - 2 = 5$.
    - **Только Гермиона**: 7 книг.
    - **Гермиона + Гарри** (без Рона): 2 книги.
    - **Рон + Гарри**: 4 книги.
    Всего книг: $5 + 7 + 2 + 4 + x = 26$, где $x$ — книги, прочитанные только Роном.
    $18 + x = 26 \Rightarrow x = 8$.
    Всего **Рон** прочитал: $8 + 4 = 12$ книг.
    Ответ: 12.
  4. Дайте определения простого и составного чисел. Может ли произведение простых чисел быть простым числом? Может ли частное составных чисел быть простым числом?
    Решение: - **Простое число** — натуральное число больше 1, имеющее ровно два делителя: 1 и само себя.
    - **Составное число** — натуральное число больше 1, имеющее более двух делителей.
    - **Произведение простых чисел** не может быть простым, т.к. будет иметь минимум три делителя (1, само число и простые множители). Например: $2 \cdot 3 = 6$ (составное).
    - **Частное составных чисел** может быть простым. Например: $4 \div 2 = 2$ (простое).
    Ответ:
    Простое число — натуральное >1 с двумя делителями; составное — >1 с более чем двумя.
    Нет, не может; да, может.
  5. В треугольнике $A B C$ проведены биссектрисы из вершин $A$ и $C$, пересекающиеся в точке $M$. Найдите оставшиеся углы треугольника $A B C$, если известно, что его угол $B$ равен $80^{\circ}$, а угол $A M B$ равен $120^{\circ}$.
    Решение: Пусть $\angle BAC = \alpha$, $\angle BCA = \beta$.
    Сумма углов:
    $\alpha + \beta + 80^{\circ} = 180^{\circ} \Rightarrow \alpha + \beta = 100^{\circ}$.
    Из свойств биссектрис:
    $\angle BAM = \frac{\alpha}{2}$, $\angle BCM = \frac{\beta}{2}$.
    В $\triangle AMB$:
    $\angle ABM = 80^{\circ} - \frac{\beta}{2}$,
    сумма углов: $\frac{\alpha}{2} + \left(80^{\circ} - \frac{\beta}{2}\right) + 120^{\circ} = 180^{\circ}$,
    $\frac{\alpha}{2} - \frac{\beta}{2} = -20^{\circ} \Rightarrow \alpha - \beta = -40^{\circ}$.
    Решая систему:
    $\begin{cases} \alpha + \beta = 100 \\ \alpha - \beta = -40 \end{cases} \Rightarrow \alpha = 30^{\circ}, \, \beta = 70^{\circ}$.
    Ответ: $\angle BAC = 30^{\circ}$, $\angle BCA = 70^{\circ}$.
  6. От станции $A$ до станции $B$ поезд проехал со средней скоростью 60 км/ч, а обратно возвращался со скоростью 30 км/ч. Чему оказалась равна его средняя скорость?
    Решение: Путь в оба конца: $2S$.
    Время движения:
    $\frac{S}{60} + \frac{S}{30} = \frac{S}{20}$.
    Средняя скорость:
    $\frac{2S}{\frac{S}{20}} = 40 \text{ км/ч}$.
    Ответ: 40 км/ч.
  7. При делении на 7 целое число $a$ даёт в остатке $5$. Какой остаток от деления на 7 получится при делении числа $a^{3}-5 a$?
    Решение: Запишем $a = 7k + 5$.
    Вычислим по модулю 7:
    $a \equiv 5 \mod 7$,
    $a^3 \equiv 5^3 = 125 \equiv 6 \mod 7$,
    $5a \equiv 5 \cdot 5 = 25 \equiv 4 \mod 7$.
    Тогда $a^3 - 5a \equiv 6 - 4 = 2 \mod 7$.
    Ответ: 2.
Материалы школы Юайти