8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМШ МИЭМ из 7 в 8 класс 2014 год

Сложность:
Дата экзамена: 2014
Печать
youit.school ©

ФМШ МИЭМ


2014 год


Вариант ФМШ2014-II-08-2



  1. Упростите выражение: $\left(2+3 x+\frac{1}{2-3 x}\right):\left(1+\frac{1}{4-9 x^{2}}\right)$
  2. Решить систему уравнений: $\left\{\begin{array}{l}3 x-2 y=8 \\ 6 x+3 y=9\end{array}\right.$
  3. Из 100 ребят, отправляющихся в летний лагерь, кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде - 28, на роликах 42. На скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах - 10, на сноуборде и на роликах - 5, а на всех трех снарядах - 3. Сколько ребят не умеют кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах?
  4. Какие числа называются кратными? Сколько существует чисел, кратных заданному. Есть ли числа, для которых не существует кратных?
  5. В треугольнике $A B C$ проведены биссектрисы из вершин $A$ и $B$, пересекающиеся в точке $N .$ Найдите величину угла $C N A$, если известно, что углы треугольника $B$ и $C$ равны соответственно $30^{\circ}$ и $100^{\circ}$.
  6. От пристани $A$ до пристани $B$ теплоход прошёл со средней скоростью 30 км/ч, а обратно возвращался со скоростью 20 км/ч. Чему оказалась равна его средняя скорость?
  7. При делении на 9 целое число $a$ даёт в остатке 7. Какой остаток от деления на 9 получится при делении числа $a^{3}+3 a$?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Упростите выражение: $\left(2+3 x+\frac{1}{2-3 x}\right):\left(1+\frac{1}{4-9 x^{2}}\right)$
    Решение: Упростим числитель и знаменатель отдельно:
    Числитель:
    $2 + 3x + \frac{1}{2-3x} = \frac{(2 + 3x)(2 - 3x) + 1}{2 - 3x} = \frac{5 - 9x^2}{2 - 3x}$
    Знаменатель:
    $1 + \frac{1}{4 - 9x^2} = \frac{4 - 9x^2 + 1}{4 - 9x^2} = \frac{5 - 9x^2}{4 - 9x^2}$
    Теперь поделим числитель на знаменатель:
    $\frac{5 - 9x^2}{2 - 3x} : \frac{5 - 9x^2}{4 - 9x^2} = \frac{4 - 9x^2}{2 - 3x} = \frac{(2 - 3x)(2 + 3x)}{2 - 3x} = 2 + 3x$
    Ответ: $2 + 3x$.

  2. Решить систему уравнений: $\left\{\begin{array}{l}3 x-2 y=8 \\ 6 x+3 y=9\end{array}\right.$
    Решение:
    Умножим первое уравнение на 2:
    $6x - 4y = 16$
    Вычтем из получившегося второе уравнение:
    $(6x - 4y) - (6x + 3y) = 16 - 9$
    $-7y = 7 \Rightarrow y = -1$
    Подставим $y = -1$ в первое уравнение:
    $3x - 2 \cdot (-1) = 8 \Rightarrow 3x + 2 = 8 \Rightarrow x = 2$
    Ответ: $(2; -1)$.

  3. Из 100 ребят, отправляющихся в летний лагерь, кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде - 28, на роликах 42. На скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах - 10, на сноуборде и на роликах - 5, а на всех трех снарядах - 3. Сколько ребят не умеют кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах?
    Решение: Используем формулу включений-исключений для трёх множеств:
    $\text{Умеют хотя бы на одном} = 30 + 28 + 42 - 8 - 10 - 5 + 3 = 80$
    Не умеют ни на одном: $100 - 80 = 20$
    Ответ: 20.

  4. Какие числа называются кратными? Сколько существует чисел, кратных заданному. Есть ли числа, для которых не существует кратных?
    Ответ: Кратными данному числу называются числа, которые делятся на него без остатка. Для любого целого числа, кроме нуля, существует бесконечно много кратных. Для числа 0 любое число считается кратным, но деление на ноль не определено, поэтому вопрос о кратных для нуля некорректен.

  5. В треугольнике $A B C$ проведены биссектрисы из вершин $A$ и $B$, пересекающиеся в точке $N$. Найдите величину угла $C N A$, если известно, что углы треугольника $B$ и $C$ равны соответственно $30^{\circ}$ и $100^{\circ}$.
    Решение: Сумма углов треугольника: $\angle A = 180^\circ - 30^\circ - 100^\circ = 50^\circ$.
    Биссектрисы делят углы пополам: $\angle BAN = \frac{50^\circ}{2} = 25^\circ$, $\angle ABN = \frac{30^\circ}{2} = 15^\circ$.
    В треугольнике $ANB$: $\angle ANB = 180^\circ - 25^\circ - 15^\circ = 140^\circ$.
    Угол $CNA$ — внешний угол для треугольника $ANB$: $\angle CNA = 180^\circ - \angle ANB = 40^\circ$.
    Ответ: $40^\circ$.

  6. От пристани $A$ до пристани $B$ теплоход прошёл со средней скоростью 30 км/ч, а обратно возвращался со скоростью 20 км/ч. Чему оказалась равна его средняя скорость?
    Решение: Средняя скорость равна общему пути, делённому на общее время. Пусть расстояние между пристанями $S$:
    Общий путь: $2S$
    Общее время: $\frac{S}{30} + \frac{S}{20} = \frac{S}{12}$
    Средняя скорость: $\frac{2S}{\frac{S}{12}} = 24$ км/ч
    Ответ: 24 км/ч.

  7. При делении на 9 целое число $a$ даёт в остатке 7. Какой остаток от деления на 9 получится при делении числа $a^{3}+3 a$?
    Решение: $a \equiv 7 \pmod{9}$
    $a^3 \equiv 7^3 = 343 \equiv 1 \pmod{9}$
    $3a \equiv 3 \cdot 7 = 21 \equiv 3 \pmod{9}$
    $a^3 + 3a \equiv 1 + 3 = 4 \pmod{9}$
    Ответ: 4.
Материалы школы Юайти