8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМШ МИЭМ из 7 в 8 класс 2014 год

Сложность:
Дата экзамена: 2014
СкачатьПечать
youit.school ©

ФМШ МИЭМ


2014 год


Вариант ФМШ2014-08-2



  1. Упростите выражение: $\frac{x-4}{x^{3}-x}:\left(\frac{x-1}{2 x^{2}+3 x+1}-\frac{1}{x^{2}-1}\right)$
  2. Постройте график функции $y=3-2 a x$, если $a$ является наименьшим целым решением неравенства $|2-a|<1 .$ Укажите промежутки знакопостоянства соответствующей функции.
  3. Для штамповки одинаковых деталей было выделено 2 автомата. Первый автомат изготовил 160 деталей. Второй автомат изготавливал в час на 3 детали меньше, работал на 6 часов больше первого и изготовил 130 деталей. Сколько деталей в час изготавливал первый автомат?
  4. Дайте определение многочлена. Может ли сумма многочленов одинаковой степени иметь меньшую степень? Может ли произведение многочленов иметь степень, не превышающую наибольшую из степеней исходных многочленов? Ответы обосновать.
  5. Прямая $a$ пересекает стороны треугольника $A B C: A C$ в точке $K$, $A B$ в точке $M . \angle A B C=60^{\circ}, \angle B A C=70^{\circ}, \angle M K C=130^{\circ} .$
    1. Докажите, что прямые $a$ и $B C$ параллельны.
    2. Найдите внешний угол треугольника $A B C$ при вершине $B .$
  6. Решите уравнение: $(2-x)^{3}+x^{2}(x-5)=(x+3)^{2}$
  7. Какое из чисел больше: $2^{300}$ или $3^{200}$?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Упростите выражение: $\frac{x-4}{x^{3}-x}:\left(\frac{x-1}{2 x^{2}+3 x+1}-\frac{1}{x^{2}-1}\right)$
    Решение: Разложим знаменатели на множители:
    $x^{3} - x = x(x-1)(x+1)$
    $2x^{2} + 3x + 1 = (2x+1)(x+1)$
    $x^{2} - 1 = (x-1)(x+1)$
    Преобразуем выражение в скобках:
    $\frac{x-1}{(2x+1)(x+1)} - \frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{(x-1)^2 - (2x+1)}{(2x+1)(x-1)(x+1)} = \frac{x^{2}-4x}{(2x+1)(x-1)(x+1)}$
    Подставим в исходное выражение:
    $\frac{x-4}{x(x-1)(x+1)} : \frac{x^{2}-4x}{(2x+1)(x-1)(x+1)} = \frac{(x-4)(2x+1)(x-1)(x+1)}{x(x-1)(x+1)(x^{2}-4x)} = \frac{2x+1}{x^{2}}$
    Ответ: $\boxed{\dfrac{2x+1}{x^2}}$

  2. Постройте график функции $y=3-2 a x$, если $a$ является наименьшим целым решением неравенства $|2-a|<1$. Укажите промежутки знакопостоянства.
    Решение: Решим неравенство:
    $|2 - a| < 1 \implies 1 < a < 3$. Наименьшее целое $a = 2$.
    Функция: $y = 3 - 4x$.
    График — прямая, пересекающая ось $y$ в точке $(0; 3)$ и ось $x$ в точке $(0.75; 0)$.
    Промежутки знакопостоянства:
    $y > 0$ при $x < \frac{3}{4}$; $y \frac{3}{4}$.
    Ответ: График $y = 3 - 4x$; положительна на $(-\infty; 0.75)$, отрицательна на $(0.75; +\infty)$.

  3. Для штамповки одинаковых деталей было выделено 2 автомата. Первый автомат изготовил 160 деталей. Второй автомат изготавливал в час на 3 детали меньше, работал на 6 часов больше первого и изготовил 130 деталей. Сколько деталей в час изготавливал первый автомат?
    Решение: Пусть производительность первого — $x$ дет./час. Тогда:
    Время работы первого: $\dfrac{160}{x}$ часов.
    Производительность второго: $(x - 3)$ дет./час, время: $\dfrac{160}{x} + 6$ часов.
    Уравнение для второго автомата:
    $(x - 3)\left(\dfrac{160}{x} + 6\right) = 130$
    $160 + 6x - \dfrac{480}{x} - 18 = 130$
    $6x^{2} + 12x - 480 = 0 \implies x^{2} + 2x - 80 = 0$
    Корни: $x = 8$ (подходит), $x = -10$ (не подходит).
    Ответ: 8 деталей в час.

  4. Дайте определение многочлена. Может ли сумма многочленов одинаковой степени иметь меньшую степень? Может ли произведение многочленов иметь степень, не превышающую наибольшую из степеней исходных многочленов? Ответы обосновать.
    Решение:
    • Многочлен — выражение вида $P(x) = a_nx^n + \dots + a_1x + a_0$, где $a_i$ — коэффициенты.
    • Сумма многочленов одинаковой степени может иметь меньшую степень, например: $(x^2 + 1) + (-x^2 + x) = x + 1$.
    • Произведение многочленов не может иметь степень меньше суммы степеней исходных. Степень произведения всегда равна сумме степеней, если старшие коэффициенты ненулевые.


  5. Прямая $a$ пересекает стороны треугольника $ABC$: $AC$ в точке $K$, $AB$ в точке $M$. $\angle ABC = 60^{\circ}$, $\angle BAC = 70^{\circ}$, $\angle MKC = 130^{\circ}$.
    1. Докажите, что прямые $a$ и $BC$ параллельны.
    2. Найдите внешний угол треугольника $ABC$ при вершине $B$.
    Решение: (a) Угол $\angle ACB = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 70^{\circ} = 50^{\circ}$. Рассмотрим треугольник $KMC$:
    $\angle MKC = 130^{\circ}$, $\angle KCM = 50^{\circ}$, тогда $\angle KMC = 180^{\circ} - 130^{\circ} - 50^{\circ} = 0^{\circ}$ — противоречие. Следовательно, прямые $a$ и $BC$ параллельны.
    (b) Внешний угол при вершине $B$ равен сумме внутренних углов при $A$ и $C$: $70^{\circ} + 50^{\circ} = 120^{\circ}$.
    Ответ: (a) параллельны; (b) $120^{\circ}$.

  6. Решите уравнение: $(2-x)^{3}+x^{2}(x-5)=(x+3)^{2}$
    Решение: Раскроем скобки:
    $(8 - 12x + 6x^2 - x^3) + (x^3 - 5x^2) = x^2 + 6x + 9$
    Упростим:
    $8 - 12x + x^2 = x^2 + 6x + 9$
    $-18x -1 = 0 \implies x = -\dfrac{1}{18}$
    Ответ: $-\dfrac{1}{18}$.

  7. Какое из чисел больше: $2^{300}$ или $3^{200}$?
    Решение: Представим числа в виде степеней с одинаковым показателем:
    $2^{300} = (2^3)^{100} = 8^{100}$, $3^{200} = (3^2)^{100} = 9^{100}$.
    Так как $9^{100} > 8^{100}$, то $3^{200} > 2^{300}$.
    Ответ: $3^{200}$ больше.
Материалы школы Юайти