8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМШ МИЭМ из 7 в 8 класс 2014 год

Сложность:
Дата экзамена: 2014
Печать
youit.school ©

ФМШ МИЭМ


2014 год


Вариант ФМШ2014-08-1



  1. Упростите выражение: $\left(\frac{2}{x-2}+\frac{3 x-21}{x^{2}+x-6}+\frac{2 x}{x+3}\right) \cdot \frac{x}{2 x-5}$
  2. Постройте график функции $y=3 a x-4$, если $a$ является наибольшим целым отрицательным решением неравенства $|a+1|>2 .$ Укажите промежутки знакопостоянства соответствующей функции.
  3. Работали 2 бригады. Первая бригада ежедневно высаживала на 20 деревьев меньше, чем вторая, и посадила 350 деревьев. Вторая работала на 1 день меньше первой и посадила 360 деревьев. Сколько деревьев в день высаживала вторая бригада?
  4. Дайте определение линейного уравнения. Любая ли система из двух линейных уравнений имеет решение? Может ли система из двух линейных уравнений иметь более одного решения? Ответы обосновать.
  5. Прямая $a$ пересекает стороны треугольника $A B C: A B$ в точке $K$, $B C$ в точке $M . \angle A B C=60^{\circ}, \angle A C B=70^{\circ}, \angle A K M=130^{\circ} .$
    1. Докажите, что прямые $a$ и $A C$ параллельны.
    2. Найдите внешний угол треугольника $A B C$ при вершине $A$.
  6. Решите уравнение: $(x+2)^{2}-(x+1)^{3}=2-(x+2) x^{2}$
  7. Какое из чисел больше: $2^{700}$ или $5^{300}$?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Упростите выражение: $\left(\frac{2}{x-2}+\frac{3 x-21}{x^{2}+x-6}+\frac{2 x}{x+3}\right) \cdot \frac{x}{2 x-5}$ Решение: Разложим знаменатель $x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)$. Приведем дроби к общему знаменателю $(x - 2)(x + 3)$:
    $\frac{2(x + 3)}{(x - 2)(x + 3)} + \frac{3x - 21}{(x + 3)(x - 2)} + \frac{2x(x - 2)}{(x + 3)(x - 2)} = \frac{2x + 6 + 3x - 21 + 2x^2 - 4x}{(x - 2)(x + 3)} = \frac{2x^2 + x - 15}{(x - 2)(x + 3)}$.
    Разложим числитель: $2x^2 + x - 15 = (2x - 5)(x + 3)$.
    Упростим выражение:
    $\frac{(2x - 5)(x + 3)}{(x - 2)(x + 3)} \cdot \frac{x}{2x - 5} = \frac{x}{x - 2}$.
    Ответ: $\frac{x}{x - 2}$.

  2. Постройте график функции $y=3 a x-4$, если $a$ является наибольшим целым отрицательным решением неравенства $|a+1|>2.$ Укажите промежутки знакопостоянства соответствующей функции. Решение: Решим неравенство:
    $|a + 1| > 2 \Rightarrow a + 1 > 2$ или $a + 1 1$ или $a < -3$. Наибольшее целое отрицательное решение: $a = -4$.
    Подставляем $a = -4$:
    $y = 3 \cdot (-4) \cdot x - 4 = -12x - 4$.
    Промежутки знакопостоянства:
    $-12x - 4 > 0 \Rightarrow x < -\frac{1}{3}$; $-12x - 4 -\frac{1}{3}$.
    Ответ: График $y = -12x -4$. Положительна при $x \in (-\infty; -\frac{1}{3})$, отрицательна при $x \in (-\frac{1}{3}; +\infty)$.

  3. Работали 2 бригады. Первая бригада ежедневно высаживала на 20 деревьев меньше, чем вторая, и посадила 350 деревьев. Вторая работала на 1 день меньше первой и посадила 360 деревьев. Сколько деревьев в день высаживала вторая бригада? Решение: Пусть вторая бригада сажает $x$ деревьев в день, тогда первая — $(x - 20)$.
    Время работы первой: $\frac{350}{x - 20}$ дней, второй: $\frac{360}{x}$ дней.
    $\frac{350}{x - 20} - \frac{360}{x} = 1 \Rightarrow 350x - 360(x - 20) = x(x - 20)$.
    $350x - 360x + 7200 = x^2 - 20x \Rightarrow -10x + 7200 = x^2 - 20x \Rightarrow x^2 - 10x - 7200 = 0$.
    $D = 100 + 28800 = 28900 = 170^2$. Корни: $x = \frac{10 \pm 170}{2}$. Положительный корень $x = 90$.
    Ответ: 90 деревьев.

  4. Дайте определение линейного уравнения. Любая ли система из двух линейных уравнений имеет решение? Может ли система из двух линейных уравнений иметь более одного решения? Ответы обосновать. Ответ:
    • Линейное уравнение — уравнение вида $a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n = b$, где $a_i$, $b$ — константы.
    • Система может не иметь решений (если прямые параллельны), иметь одно решение (пересекающиеся прямые), или бесконечно много решений (совпадающие прямые).
    • Более одного решения возможно только при бесконечном количестве решений (совпадение прямых).


  5. Прямая $a$ пересекает стороны треугольника $ABC$: $AB$ в точке $K$, $BC$ в точке $M$. $\angle ABC=60^\circ$, $\angle ACB=70^\circ$, $\angle AKM=130^\circ$.
    1. Докажите, что прямые $a$ и $AC$ параллельны.
    2. Найдите внешний угол треугольника $ABC$ при вершине $A$.
    Решение:
    1. $\angle BAC = 180^\circ - 60^\circ - 70^\circ = 50^\circ$. $\angle AKM = 130^\circ$ (смежен с $\angle BKM$). Соответственные углы: $\angle BAC = 50^\circ$, $\angle BKM = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$. Прямые параллельны.
    2. Внешний угол равен сумме двух других внутренних углов: $60^\circ + 70^\circ = 130^\circ$.
    Ответ: а) Параллельны; б) $130^\circ$.

  6. Решите уравнение: $(x+2)^2 - (x+1)^3 = 2 - (x+2)x^2$. Решение: Раскроем выражения:
    $(x^2 + 4x + 4) - (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) = 2 - x^3 - 2x^2$.
    Приведем подобные:
    $-x^3 - 2x^2 + x + 3 = -x^3 - 2x^2 + 2 \Rightarrow x + 3 = 2 \Rightarrow x = -1$.
    Проверка: Подстановка $x = -1$ дает равенство.
    Ответ: $-1$.

  7. Какое из чисел больше: $2^{700}$ или $5^{300}$? Решение: $2^{700} = (2^7)^{100} = 128^{100}$, $5^{300} = (5^3)^{100} = 125^{100}$.
    Так как $128^{100} > 125^{100}$, то $2^{700} > 5^{300}$.
    Ответ: $2^{700}$ больше.
Материалы школы Юайти