8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМШ МИЭМ из 7 в 8 класс 2013 год

Сложность:
Дата экзамена: 2013
Печать
youit.school ©

ФМШ МИЭМ


2013 год


Вариант ФМШ2013-08-1



  1. Сократите дробь: $\frac{72 a^{2} b c^{3}-96 a^{4} b c^{2}+32 a^{6} b c}{16 a^{5} b^{2} c^{3}-36 a b^{2} c^{5}}$.
  2. Разложите на множители: $a^{3}+a^{2} b-a b^{2}-b^{3}$.
  3. Постройте график линейной функции, проходящей через точку с координатами $(-1 ; 3)$ параллельно прямой $y=2 x-1$. Запишите функцию, график которой вы построили, в виде формулы.
  4. Вася забыл одно важное определение и сказал такую фразу: "Треугольник называется равнобедренным, если одна из его сторон равна высоте".
    1. Может ли существовать такой треугольник?
    2. Если да, то может ли он быть равнобедренным? А прямоугольным?
  5. Несколько человек вошли в пустую комнату, затем две трети из них ушли. Если уйдёт ещё двое, в комнате останется ровно четверть от исходного количества. Сколько человек вошли в комнату?
  6. Вкладчик открыл вклады в двух банках. Оказалось, что $60 \%$ первого вклада равны $24 \%$ второго вклада. На сколько процентов первый вклад меныше второго?
  7. Решите уравнение: $|5-2 x|-2 x=x+3$.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Сократите дробь: $\frac{72 a^{2} b c^{3}-96 a^{4} b c^{2}+32 a^{6} b c}{16 a^{5} b^{2} c^{3}-36 a b^{2} c^{5}}$.
    Решение: Разложим числитель и знаменатель на множители.
    Числитель: $8a^{2}bc(9c^{2} - 12a^{2}c + 4a^{4}) = 8a^{2}bc(2a^{2} - 3c)^{2}$.
    Знаменатель: $4ab^{2}c^{3}(4a^{4} - 9c^{2}) = 4ab^{2}c^{3}(2a^{2} - 3c)(2a^{2} + 3c)$.
    Сокращаем общие множители:
    $\frac{8a^{2}bc(2a^{2} - 3c)^{2}}{4ab^{2}c^{3}(2a^{2} - 3c)(2a^{2} + 3c)} = \frac{2a(2a^{2} - 3c)}{b c^{2}(2a^{2} + 3c)}$.
    Ответ: $\frac{2a(2a^{2}-3c)}{b c^{2}(2a^{2}+3c)}$.

  2. Разложите на множители: $a^{3}+a^{2} b-a b^{2}-b^{3}$.
    Решение: Группируем слагаемые:
    $a^{3} + a^{2}b - ab^{2} - b^{3} = a^{2}(a + b) - b^{2}(a + b) = (a + b)(a^{2} - b^{2}) = (a + b)(a - b)(a + b) = (a + b)^{2}(a - b)$.
    Ответ: $(a + b)^{2}(a - b)$.

  3. Постройте график линейной функции, проходящей через точку с координатами $(-1 ; 3)$ параллельно прямой $y=2 x-1$. Запишите функцию в виде формулы.
    Решение: У параллельных прямых одинаковые угловые коэффициенты. Уравнение искомой функции: $y = 2x + c$.
    Подставляем координаты точки $(-1; 3)$:
    $3 = 2 \cdot (-1) + c \quad \Rightarrow \quad c = 5$.
    Ответ: $y = 2x + 5$.

    1. Может ли существовать треугольник, где одна из сторон равна высоте?
      Ответ: Да. Например, равнобедренный треугольник с основанием $a = 2$ и высотой $h = 2$, боковыми сторонами $\sqrt{5}$.
    2. Может ли такой треугольник быть равнобедренным? Прямоугольным?
      Ответ: Равнобедренным — да. Прямоугольным — нет.


  5. Несколько человек вошли в пустую комнату. Если изначально было $x$ человек, то после ухода $\frac{2}{3}x$ останется $\frac{1}{3}x$. Далее уходят ещё 2 человека: $\frac{1}{3}x - 2 = \frac{1}{4}x$.
    Решение: $\frac{1}{3}x - 2 = \frac{1}{4}x \quad \Rightarrow \quad \frac{x}{12} = 2 \quad \Rightarrow \quad x = 24$.
    Ответ: 24.

  6. Пусть $A$ — первый вклад, $B$ — второй. По условию: $0,6A = 0,24B \quad \Rightarrow \quad A = 0,4B$.
    Находим, на сколько процентов $A$ меньше $B$:
    $\frac{B - A}{B} \cdot 100% = \frac{B - 0,4B}{B} \cdot 100% = 60\%$.
    Ответ: На 60\%.

  7. Решите уравнение: $|5 - 2x| - 2x = x + 3$.
    Решение:
    Случай 1: $5 - 2x \geq 0 \quad (x \leq 2,5)$:
    $5 - 2x - 2x = x + 3 \quad \Rightarrow \quad 5 - 4x = x + 3 \quad \Rightarrow \quad x = 0,4$ (подходит).
    Случай 2: $5 - 2x 2,5)$:
    $2x - 5 - 2x = x + 3 \quad \Rightarrow \quad -5 = x + 3 \quad \Rightarrow \quad x = -8$ (не подходит).
    Ответ: 0,4.
Материалы школы Юайти