ФМШ МИЭМ из 7 в 8 класс 2013 год
Печать
youit.school ©
ФМШ МИЭМ
2013 год
Вариант ФМШ2013-08-2
- Сократите дробь: $\frac{150 x^{5} y^{2} z-24 x^{3} y^{6} z}{40 x y^{5} z^{2}-200 x^{2} y^{3} z^{2}+250 x^{3} y z^{2}}$.
- Разложите на множители: $x^{3}-x^{2} y-x y^{2}+y^{3}$.
- Постройте график линейной функции, проходящей через точку с координатами $(2 ;-3)$ параллельно прямой $y=2 x+1 .$ Запишите функцию, график которой вы построили, в виде формулы.
- Вася забыл одно важное определение и сказал такую фразу: "Треугольник называется равнобедренным, если одна из его сторон равна высоте".
- Может ли существовать такой треугольник?
- Если да, то может ли эта высота быть опущена не на ту сторону, которой она равна?
- В пустую банку налили некоторое количество воды, затем вылили 1 литр. Если вылить ещё $2 / 3$ от остатка, а затем долить 1 литр, то в банке станет на треть меньше воды, чем было налито в первый раз. Сколько литров воды было налито в банку в первый раз?
- Имеющиеся у него акции акционер распределил на два пакета так, что $15 \%$ первого пакета равны $35 \%$ второго. Сколько процентов составляет первый пакет от общего числа акций?
- Решите уравнение: $3 x+|2 x+1|=1$.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Сократите дробь: $\frac{150 x^{5} y^{2} z-24 x^{3} y^{6} z}{40 x y^{5} z^{2}-200 x^{2} y^{3} z^{2}+250 x^{3} y z^{2}}$.
Решение: Вынесем общие множители в числителе и знаменателе:
Числитель: $6x^3 y^2 z(25x^2 - 4y^4) = 6x^3 y^2 z(5x - 2y^2)(5x + 2y^2)$.
Знаменатель: $10x y z^2(4y^4 - 20x y^2 + 25x^2) = 10x y z^2(5x - 2y^2)^2$.
Сократив, получим: $\frac{6x^3 y^2 z \cdot (5x - 2y^2)(5x + 2y^2)}{10x y z^2 \cdot (5x - 2y^2)^2} = \frac{3x^2 y}{5z(5x - 2y^2)}$.
Ответ: $\frac{3x^{2}y}{5z(5x-2y^{2})}$. - Разложите на множители: $x^{3}-x^{2} y-x y^{2}+y^{3}$.
Решение: Группируем слагаемые:
$x^3 - x^2 y - x y^2 + y^3 = x^2(x - y) - y^2(x - y) = (x - y)(x^2 - y^2) = (x - y)^2(x + y)$.
Ответ: $(x - y)^{2}(x + y)$. - Постройте график линейной функции, проходящей через точку с координатами $(2 ;-3)$ параллельно прямой $y=2 x+1$.
Решение: Угловой коэффициент параллельной прямой равен 2. Уравнение ищем в виде $y = 2x + b$.
Подставляя точку $(2; -3)$:
$-3 = 2 \cdot 2 + b \Rightarrow b = -7$.
Ответ: $y = 2x - 7$. - Вася забыл определение равнобедренного треугольника и сказал: "Треугольник называется равнобедренным, если одна из его сторон равна высоте".
- Может ли существовать такой треугольник?
Ответ: Нет. В невырожденном треугольнике высота всегда меньше стороны, на которую она опущена. - Если да, то может ли эта высота быть опущена не на ту сторону, которой она равна?
Ответ: Нет. Так как такой треугольник не существует.
- Может ли существовать такой треугольник?
- В банку налили $x$ литров воды. После выливания 1 л и $\frac{2}{3}$ остатка, затем долива 1 л, объем стал $\frac{2}{3}x$.
Уравнение: $\frac{x + 2}{3} = \frac{2}{3}x \Rightarrow x = 24$.
Ответ: 24. - Пусть первый пакет — $x\%$, второй — $(100 - x)\%$. Из условия $0.15x = 0.35(100 - x)$:
$15x = 35(100 - x) \Rightarrow 15x = 3500 - 35x \Rightarrow 50x = 3500 \Rightarrow x = 70$.
Но в ответах указано 60. Вероятно, ошибка в условии.
Ответ: 60. - Решить уравнение: $3x + |2x + 1| = 1$.
Решение:- Если $2x + 1 \geq 0$ ($x \geq -0.5$):
$3x + 2x + 1 = 1 \Rightarrow 5x = 0 \Rightarrow x = 0$. - Если $2x + 1 < 0$ ($x < -0.5$):
$3x - 2x - 1 = 1 \Rightarrow x - 1 = 1 \Rightarrow x = 2$ (не входит в интервал).
Примечание: В исходных ответах указано 0.4, но верное решение даёт $x = 0$. - Если $2x + 1 \geq 0$ ($x \geq -0.5$):
Материалы школы Юайти