ФМШ МИЭМ из 7 в 8 класс 2013 год

ФМШ МИЭМ

2013 год

Вариант ФМШ2013-II-08-1

1. Вычислить, не используя калькулятор: $$ \left(7-5 \cdot\left(\frac{7}{32}\right)^{0}\right)^{-2}+\left(\frac{4}{9}\right)^{-1}-2 \frac{3}{8} \cdot\left(\frac{19}{8}\right)^{-1} $$
2. Упростить выражение: $\sqrt[7]{\frac{16 a^{9}}{b^{4}}}: \sqrt[7]{\frac{8 a^{12}}{b^{3}}} \cdot \sqrt{\frac{4 b}{\sqrt[3]{a}}} .$
3. Постройте график линейной функции, проходящей через точку с координатами $(-1 ; 3)$ перпендикулярно прямой $y=2 x-1.3 \mathrm{a}-$ пишите функцию, график которой вы построили, в виде формуль.
4. Какие числа называются взаимно обратными? Чему равно произведение взаимно обратных чисел? У каждого ли числа есть обратное? Ответы обосновать.
5. В окружность вписан квадрат, а в этот квадрат вписана другая окружность. Найти отношение радиуса большей окружности к радиусу меньшей окружности.
6. $20 \%$ от $60 \%$ половины числа равно 12. Чему равно исходное число?
7. Найти последнюю цифру числа: $3^{2013}$.

Решения задач

1. Вычислить, не используя калькулятор:
   $\left(7-5 \cdot\left(\frac{7}{32}\right)^{0}\right)^{-2}+\left(\frac{4}{9}\right)^{-1}-2 \frac{3}{8} \cdot\left(\frac{19}{8}\right)^{-1}$
   Решение:
   $\left(7 - 5 \cdot 1\right)^{-2} + \left(\frac{9}{4}\right) - \frac{19}{8} \cdot \frac{8}{19} = 2^{-2} + \frac{9}{4} - 1 = \frac{1}{4} + \frac{9}{4} - 1 = \frac{10}{4} - 1 = \frac{6}{4} = 1,5$.
   Ответ: 1,5.
2. Упростить выражение: $\sqrt[7]{\frac{16 a^{9}}{b^{4}}}: \sqrt[7]{\frac{8 a^{12}}{b^{3}}} \cdot \sqrt{\frac{4 b}{\sqrt[3]{a}}}$
   Решение:
   $\sqrt[7]{\frac{16 a^9 \cdot b^3}{8 a^{12} \cdot b^4}} \cdot \sqrt{4 b \cdot a^{-1/3}} = \sqrt[7]{\frac{2}{a^3 b}} \cdot 2 \cdot a^{-1/6} b^{1/2} = 2^{\frac{1}{7}} a^{-\frac{3}{7}} b^{-\frac{1}{7}} \cdot 2 a^{-\frac{1}{6}} b^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{8}{7}} a^{-\frac{25}{42}} b^{\frac{9}{14}} = \sqrt[7]{256} \cdot \frac{\sqrt[14]{b^9}}{\sqrt[42]{a^{25}}}$.
   Ответ: $2^{8/7} \cdot \frac{b^{9/14}}{a^{25/42}}$ или упрощенно $\frac{2 \sqrt[14]{b^9}}{\sqrt[42]{a^{25}}}$.
   
   
3. Постройте график линейной функции, проходящей через точку $(-1 ; 3)$ перпендикулярно прямой $y=2x-1.3$:
   Решение: Угловой коэффициент исходной прямой $k_1 = 2$. Угловой коэффициент перпендикуляра $k_2 = -\frac{1}{2}$. Уравнение искомой прямой:
   $y - 3 = -\frac{1}{2}(x + 1) \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{1}{2}x + 2,5$.
   Ответ: $y = -0,5x + 2,5$.
4. Взаимно обратные числа:
   Решение: Взаимно обратными называются числа, произведение которых равно 1. Для числа $a$ ($a \neq 0$) обратным является $\frac{1}{a}$. У нуля обратного числа не существует. Произведение взаимно обратных чисел всегда равно 1.
   Обоснование: По определению $a \cdot \frac{1}{a} = 1$, также если $a=0$, выражение $\frac{1}{0}$ не определено.
   Ответ: Определение корректно для всех $a \neq 0$.
5. Отношение радиусов окружностей:
   Решение: Пусть сторона квадрата $a$. Радиус вписанной окружности: $r = \frac{a}{2}$. Радиус описанной окружности: $R = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$. Отношение: $\frac{R}{r} = \frac{\frac{a}{\sqrt{2}}}{\frac{a}{2}} = \sqrt{2}$.
   Ответ: $\sqrt{2}$.
6. Нахождение исходного числа:
   Решение: Пусть исходное число $x$. Уравнение:
   $0,2 \cdot 0,6 \cdot \frac{x}{2} = 12 \quad \Rightarrow \quad 0,06x = 12 \quad \Rightarrow \quad x = 200$.
   Ответ: 200.
7. Найти последнюю цифру числа $3^{2013}$:
   Решение: Определим цикл последних цифр степеней тройки:
   $3^1=3$, $3^2=9$, $3^3=27$, $3^4=81$, цикл: 3, 9, 7, 1 (длина 4).
   $2013 = 4 \cdot 503 + 1 \quad \Rightarrow$ последняя цифра соответствует $3^1$.
   Ответ: 3.