ФМШ МИЭМ из 7 в 8 класс 2013 год

ФМШ МИЭМ

2013 год

Вариант ФМШ2013-II-08-2

1. Вычислить, не используя калькулятор: $$ \frac{\left(8 \frac{1}{8}\right)^{-1}-\left(21 \frac{2}{3}\right)^{-1}}{13^{-1}}+4 \cdot\left(169 \frac{1}{3}\right)^{0} $$
2. Упростить выражение: $\sqrt[5]{\frac{8 a^{3}}{b^{2}}}: \sqrt[5]{\frac{32 a^{9}}{b^{7}}} \cdot \sqrt{\frac{16 b}{\sqrt[5]{a}}}$.
3. Постройте график линейной функции, проходящей через точку с координатами $(2 ;-3)$ перпендикулярно прямой $y=2 x+1$. Запишите функцию, график которой вы построили, в виде формулы.
4. Какие дроби называются несократимыми? Является ли произведение двух несократимых дробей также несократимой дробью? Привести необходимые примеры.
5. В квадрат вписана окружность, а в эту окружность вписан другой квадрат. Найти отношение стороны большего квадрата к стороне меньшего квадрата.
6. $40 \%$ от $20 \%$ четверти числа равно $10 .$ Чему равно исходное число?
7. Найти последнюю цифру числа: $9^{2013}$.

Решения задач

1. Вычислить, не используя калькулятор:
   $\frac{\left(8 \frac{1}{8}\right)^{-1}-\left(21 \frac{2}{3}\right)^{-1}}{13^{-1}}+4 \cdot\left(169 \frac{1}{3}\right)^{0}$
   Решение:
   $\left(8 \frac{1}{8}\right)^{-1} = \left(\frac{65}{8}\right)^{-1} = \frac{8}{65},\; \left(21 \frac{2}{3}\right)^{-1} = \left(\frac{65}{3}\right)^{-1} = \frac{3}{65}$;
   $\frac{8}{65} - \frac{3}{65} = \frac{5}{65} = \frac{1}{13}$;
   $\frac{\frac{1}{13}}{13^{-1}} = \frac{1}{13} \cdot 13 = 1$;
   $4 \cdot\left(169 \frac{1}{3}\right)^{0} = 4 \cdot 1 = 4$;
   $1 + 4 = 5$.
   Ответ: 5.
2. Упростить выражение: $\sqrt[5]{\frac{8 a^{3}}{b^{2}}}: \sqrt[5]{\frac{32 a^{9}}{b^{7}}} \cdot \sqrt{\frac{16 b}{\sqrt[5]{a}}}$.
   Решение:
   $\sqrt[5]{\frac{8a^3}{b^2} \cdot \frac{b^7}{32a^9}} = \sqrt[5]{\frac{b^5}{4a^6}} = \frac{b}{4^{1/5}a^{6/5}}$;
   $\sqrt{\frac{16b}{a^{1/5}}} = \frac{4b^{1/2}}{a^{1/10}}$;
   $\frac{b}{4^{1/5}a^{6/5}} \cdot \frac{4b^{1/2}}{a^{1/10}} = \frac{4^{4/5}b^{3/2}}{a^{13/10}} = \frac{4^{0,8}b^{1,5}}{a^{1,3}}$.
   Ответ: $\frac{4^{0,8}b^{1,5}}{a^{1,3}}$.
3. Постройте график линейной функции, проходящей через точку с координатами $(2 ;-3)$ перпендикулярно прямой $y=2 x+1$.
   Решение:
   Угловой коэффициент исходной прямой: $2$.
   Угловой коэффициент перпендикуляра: $-\frac{1}{2}$.
   Уравнение новой прямой: $y = -\frac{1}{2}x + b$.
   Подстановка точки $(2; -3)$:
   $-3 = -\frac{1}{2} \cdot 2 + b \Rightarrow -3 = -1 + b \Rightarrow b = -2$.
   Ответ: $y = -0,5x - 2$.
4. Какие дроби называются несократимыми?
   Ответ: Дробь $\frac{a}{b}$ называется несократимой, если числитель и знаменатель взаимно просты (не имеют общих делителей, кроме 1).
   Пример произведения несократимых дробей, которое сократимо:
   $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1$ — произведение несократимых дробей даёт сократимую дробь (целое число).
   Пример несократимого произведения:
   $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ — результат остаётся несократимым.
   Ответ: Нет, произведение несократимых дробей может быть сократимым.
5. В квадрат вписана окружность, а в эту окружность вписан другой квадрат.
   Решение:
   Сторона внешнего квадрата $A$, радиус вписанной окружности $r = \frac{A}{2}$.
   Диагональ внутреннего квадрата: $2r = A$.
   Сторона внутреннего квадрата: $B = \frac{A}{\sqrt{2}}$.
   Отношение сторон: $\frac{A}{B} = \sqrt{2}$.
   Ответ: $\sqrt{2}$.
6. $40 \%$ от $20 \%$ четверти числа равно $10$.
   Решение:
   Исходное число $x$:
   $0,4 \cdot 0,2 \cdot \frac{x}{4} = 10 \Rightarrow 0,08 \cdot \frac{x}{4} = 10 \Rightarrow 0,02x = 10 \Rightarrow x = 500$.
   Ответ: 500.
7. Найти последнюю цифру числа: $9^{2013}$.
   Решение:
   Последние цифры степеней 9: $9,1,9,1,...$ (период 2).
   $2013$: остаток от деления на 2 равен 1 $\Rightarrow$ последняя цифра как у $9^1$.
   Ответ: 9.