ФМШ МИЭМ из 6 в 7 класс 2019

ФМШ МИЭМ

2019 год

Вариант ФМШ 2019-07-1

1. Установите закономерность чисел следующего ряда и вычислите его сумму: $1 + 9 + 18 + 27 + 36 + \dots + 297$. (Автор задачи: Николай Дмитриев, 8 класс, Москва.)
2. Что означает фраза «число $a$ делится на число $b$»? Можно ли сказать, что «любое число всегда делится на любое другое» (возможно, за небольшим исключением)? Верно ли, что если некоторое число, которое делится на 2, представлено в виде суммы двух чисел, то каждое из них делится на 2? Ответы обосновать.
3. Щенок Тузик тявкает 1 раз, когда готов что-нибудь съесть, и 3 раза, когда очень голоден. За неделю Тузик тявкнул 51 раз. Сколько раз за неделю он мог быть очень голодным, если щенок становится очень голодным после того, как 5-7 раз выразит желание что-нибудь съесть?% Проверьте соответствие формулировки с оригиналом
4. Часть графика линейной функции $y = 2x + b$ вместе с осями координат образует треугольник. После увеличения значения $b$ на 5 площадь треугольника увеличилась на 5 кв. ед. Чему равно исходное значение $b$?
5. Изобразите на координатной плоскости множество всех точек, модули координат которых отличаются на 2.
6. Дан угол $A_1OA_2$. Построим угол $A_1OA_3$, биссектрисой которого является $OA_2$, затем угол $A_1OA_4$, биссектрисой которого является $OA_3$, и т.д. Может ли возникнуть ситуация, когда мы не сможем построить очередной угол? Зависит ли это от того, каким будет исходный угол $A_1OA_2$?
7. В разных местах Земли установлены столбы с указателями, на которых приведены названия городов и расстояния до них. Какое минимальное количество указателей на столбе необходимо, чтобы точно определить его местоположение, при условии, что у нас есть только карта местности и фотография столба? Важно ли при этом, в каких направлениях находятся соответствующие города?
   

Решения задач

1. Установите закономерность чисел следующего ряда и вычислите его сумму: $1 + 9 + 18 + 27 + 36 + \dots + 297$.
   Решение: Первый член ряда 1, затем начинает действовать арифметическая прогрессия с разностью 9: 9, 18, 27, ..., 297. Найдём количество членов прогрессии:
   $a_1 = 9$, $a_n = 297$, $d = 9$
   $n = \frac{297 - 9}{9} + 1 = 33$
   Сумма прогрессии: $S = \frac{(9 + 297) \cdot 33}{2} = 5049$.
   Общая сумма ряда: $1 + 5049 = 5050$
   Ответ: 5050.
2. Что означает фраза «число $a$ делится на число $b$»? Можно ли сказать, что «любое число всегда делится на любое другое» (возможно, за небольшим исключением)? Верно ли, что если некоторое число, которое делится на 2, представлено в виде суммы двух чисел, то каждое из них делится на 2? Ответы обосновать.
   Решение:
   • Число $a$ делится на $b$, если существует целое $k$ такое, что $a = b \cdot k$.
   • Неверно. Например, 3 не делится на 2. Исключение только если $b = \pm1$ или $a = 0$.
   • Неверно. Пример: $3 + 1 = 4$ делится на 2, но числа 3 и 1 нечётные.
3. Щенок Тузик тявкает 1 раз, когда готов что-нибудь съесть, и 3 раза, когда очень голоден. За неделю Тузик тявкнул 51 раз. Сколько раз за неделю он мог быть очень голодным, если щенок становится очень голодным после того, как 5-7 раз выразит желание что-нибудь съесть?
   Решение: Пусть $x$ — количество случаев сильного голода. Тогда обычных сигналов будет $y = 51 - 3x$. По условию перед каждым сильным голодом должно быть 5-7 нормальных сигналов:
   $\begin{cases} 5x \leq 51 - 3x \leq 7x \\ 51 - 3x \geq 0 \end{cases}$
   Решения: $x_{max} = 7$ (подстановка дает $y = 51 - 21 = 30$, что удовлетворяет $5 \cdot 7 \leq 30 \leq 7 \cdot 7$).
   Ответ: 7.
4. Часть графика линейной функции $y = 2x + b$ вместе с осями координат образует треугольник. После увеличения значения $b$ на 5 площадь треугольника увеличилась на 5 кв. ед. Чему равно исходное значение $b$?
   Решение: Точки пересечения с осями:
   При $x = 0$: $y = b$, при $y = 0$: $x = -\frac{b}{2}$. Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot |b| \cdot \left|\frac{b}{2}\right| = \frac{b^2}{4}$.
   После увеличения $b$ на 5: $S_{нов} = \frac{(b + 5)^2}{4}$. Разница площадей: $\frac{(b + 5)^2}{4} - \frac{b^2}{4} = 5$
   $\frac{10b + 25}{4} = 5$ $\Rightarrow$ $10b + 25 = 20$ $\Rightarrow$ $b = -0,5$.
   Ответ: $-0,5$.
5. Изобразите на координатной плоскости множество всех точек, модули координат которых отличаются на 2.
   Решение: Уравнение имеет вид $|x| - |y| = \pm2$, распадается на четыре случая:
   • $x - y = 2$ для $x, y \geq 0$
   • $-x - y = 2$ для $x \leq 0$, $y \leq 0$ (не имеет решений)
   • $x + y = 2$ для $x \geq 0$, $y \leq 0$
   • $-x + y = 2$ для $x \leq 0$, $y \geq 0$
   График — два параллельных луча и две прямые, образующие ромб.
   Ответ: график пересечений прямых $x \pm y = 2$ и $-x \pm y = 2$ в соответствующих квадрантах.
6. Дан угол $A_1OA_2$. Построим угол $A_1OA_3$, биссектрисой которого является $OA_2$, затем угол $A_1OA_4$, биссектрисой которого является $OA_3$, и т.д. Может ли возникнуть ситуация, когда мы не сможем построить очередной угол? Зависит ли это от того, каким будет исходный угол $A_1OA_2$?
   Решение: Каждое построение делит предыдущий угол пополам. Если исходный угол $\alpha$ имеет вид $\alpha = \frac{180^\circ}{2^{n}}$, то процесс закончится при достижении неделимого угла. Однако в общем случае углы будут уменьшаться бесконечно, округляясь до практической точности построения. Формально процесс бесконечен для любого начального угла, не являющегося степенью двухкратного деления прямого угла.
7. В разных местах Земли установлены столбы с указателями, на которых приведены названия городов и расстояния до них. Какое минимальное количество указателей на столбе необходимо, чтобы точно определить его местоположение, при условии, что у нас есть только карта местности и фотография столба? Важно ли при этом, в каких направлениях находятся соответствующие города?
   Ответ: Минимальное количество — 3. Требуются расстояния до трёх неколлинеарных точек на карте. Направления городов не важны, если известны расстояния и координаты городов на карте. Три окружности с радиусами, равными расстояниям, пересекутся в одной точке.