ФМШ МИЭМ из 6 в 7 класс 2018 год

ФМШ МИЭМ

2018 год

Вариант ФМШ 2018-II-07-1

1. Вычислите без помощи калькулятора: \[ 1 + \frac{1 - \frac{1+2}{1+3} : \frac{1+4}{1+5} \cdot \frac{1+6}{1+8} \cdot \frac{1+7}{1+9} - 1} {1 - \frac{1-4}{1-5} - 1} :\,\bigl(1 - \frac{1-6}{1-7} - 1\bigr) - \bigl(1 - \frac{1-8}{1-9}\bigr) - 1. \]
   
   
2. Окружность и круг имеют общие точки. Имеет ли множество всех таких точек длину? Может ли оно иметь площадь? Есть ли случаи, в которых указанному выше множеству принадлежала бы некоторая окружность? Ответы обосновать.
   
   
3. Вася бежит в школу в 2 раза быстрее Светы. Но если он по пути встретит Петю, то вместе они пойдут в 4 раза медленнее бегущей Светы. Расстояния от домов Васи и Светы до школы одинаковые. Какую часть пути Вася пробежал до встречи с Петей, если он и Света выбежали из дома в одно время и подошли/прибежали к школе также одновременно?
   
   
4. Сколько существует натуральных чисел, не превышающих 10000, которые делятся на 102, но не делятся на 15? Ответ обосновать.
   
   
5. Изобразите на координатной плоскости множество всех точек, координаты которых являются противоположными числами, разность которых делится без остатка на 3.
   
   
6. Найдите 2 числа, сумма которых в 2 раза больше их разности, и одно из этих чисел на 30 больше другого.
   
   
7. Японию называют Страной восходящего солнца. Какая страна могла бы с большим правом носить такое наименование? Какая страна могла бы называться Страной заходящего солнца? Ответы обосновать.

Решения задач

1. Вычислите: \[ 1 + \frac{1 - \frac{1+2}{1+3} : \frac{1+4}{1+5} \cdot \frac{1+6}{1+8} \cdot \frac{1+7}{1+9} - 1} {1 - \frac{1-4}{1-5} - 1} :\,\bigl(1 - \frac{1-6}{1-7} - 1\bigr) - \bigl(1 - \frac{1-8}{1-9}\bigr) - 1 \] Решение: Последовательно упростим каждую часть выражения.
   • Числитель большой дроби: \[ 1 - \left(\frac{3}{4} : \frac{5}{6} \cdot \frac{7}{9} \cdot \frac{8}{10}\right) -1 = -\left(\frac{3}{4} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{7}{9} \cdot \frac{8}{10}\right) = -\left(\frac{3 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}{4 \cdot 5 \cdot 9 \cdot 10}\right) = -\frac{14}{25} \]
   • Знаменатель большой дроби: \[ 1 - \frac{-3}{-4} - 1 = 1 - \frac{3}{4} -1 = -\frac{3}{4} \]
   • Большая дробь: \[ \frac{-14/25}{-3/4} = \frac{14}{25} \cdot \frac{4}{3} = \frac{56}{75} \]
   • Далее: \[ 1 + \frac{56}{75} : \left(-\frac{4}{6}\right) - \frac{16}{8} -1 = 1 - \frac{56}{75} \cdot \frac{3}{2} -2 -1 = 1 - \frac{28}{25} -3 = -2,12 \]
   Ответ: $-2,12.$
   
   
2. Общие точки окружности и круга:
   • Множество общих точек имеет длину (касание — 1 точка, пересечение — 2 точки, совпадение — бесконечность точек), но площадь всегда равна нулю.
   • Если окружность полностью лежит внутри круга или совпадает с его границей, пересечением будет сама окружность длиной $2\pi r$, но площади не имеет.
   • Случай принадлежности всей окружности: если окружность является границей круга или его частью.
3. Пусть расстояние до школы $S$, скорость Светы $v$, Васи $2v$, совместная скорость Васи и Пети $\frac{v}{4}$. Время движения Светы: $\frac{S}{v}$. Вася бежал часть $x$ пути: \[ \frac{xS}{2v} + \frac{(1-x)S}{v/4} = \frac{S}{v} \implies \frac{x}{2} + 4(1-x) = 1 \implies x = \frac{6}{7}. \] Ответ: $\frac{6}{7}$ пути.
4. Натуральные числа ≤10000, делящиеся на 102: $\lfloor \frac{10000}{102} \rfloor = 98$. Вычитаем числа, делящиеся и на 102, и на 15 (НОК=510): $\lfloor \frac{10000}{510} \rfloor = 19$. Ответ: $98 -19 = 79$.
5. Множество точек $(x, -x)$, где $2x 3 \implies x 3$. На координатной плоскости это прямая $y = -x$ с точками вида $(3k, -3k)$.
6. Пусть числа $a$ и $b$, $a = b +30$. По условию: \[ a + b = 2(a - b) \implies 2b + 30 = 60 \implies b =15, \quad a = 45. \] Ответ: 15 и 45.
7. Страны восходящего/заходящего солнца:
   • «Восходящего солнца» — Россия (Чукотка встречает рассвет раньше Японии).
   • «Заходящего солнца» — Португалия (самая западная страна Евразии).