ФМШ МИЭМ из 6 в 7 класс 2018 год вариант ФМШ 2018-07-2

ФМШ МИЭМ

2018 год

Вариант ФМШ 2018-07-2

1. Вычислите без помощи калькулятора: \[ -(2 - 4 + 6) - (4 - 6 + 8) + (8 - 10 + 12) + (10 - 12 + 14) - (14 - 16 + 18) - \dots - (9998 - 10000 + 10002) - (10000 - 10002 + 10004). \]
   
   
2. Что значит, что одно число меньше другого в 2 раза? Всегда ли мы можем сказать, что одно из двух чисел меньше другого во сколько-то раз? Если одно число меньше другого в несколько раз, то во сколько раз каждое из этих чисел будет меньше суммы данных чисел? Ответы обосновать.
   (Идея задачи: Никита Гусев, 8 класс, Москва)
   
   
3. Пакет с 0,8 л молока стоит 33 руб. 64 коп., а пакет с 1 кг молока (1 кг = 970 мл) стоит 40 руб. 74 коп. Какое молоко покупать выгоднее, и сколько будет стоить его литр?
   
   
4. Какую градусную меру может иметь угол, смежный с углом, являющимся вертикальным углом, смежному с острым углом? Ответ обосновать.
   
   
5. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых отличаются не меньше, чем на 2.
   
   
6. Докажите, что сумма трёх последовательных натуральных чисел, делящихся на 4 (здесь и далее в данной задаче подразумевается деление нацело), делится на 12. При каких условиях данная сумма будет делиться на 120? Ответ обосновать.
   
   
7. Чтобы превратить прямоугольник в квадрат, Вася отрезал от прямоугольника прямоугольник. Площадь получившегося квадрата оказалась на 25% меньше площади отрезанного прямоугольника. После этого Вася превратил и отрезанный прямоугольник в квадрат, отрезав от него прямоугольник. На сколько процентов площадь второго квадрата меньше площади первого квадрата?

Решения задач

1. Вычислите без помощи калькулятора: \[ -(2 - 4 + 6) - (4 - 6 + 8) + \dots - (9998 - 10000 + 10002) - (10000 - 10002 + 10004) \]
   Решение:
   Каждую скобку вида \(a - (a+2) + (a+4)\) можно упростить: \[ a - (a+2) + (a+4) = (a + (a+4)) - (a+2) = 2a +4 - a -2 = a + 2 \]
   Значения первых скобок:
   \(2 - 4 + 6 = 4\), \(4 - 6 + 8 = 6\), \(8 -10 +12=10\) и т.д.
   Знаки перед скобками чередуются группами по два минуса, два плюса и т.д. Последовательность сумм групп по два слагаемых: \[ -4 -6 = -10,\quad +10 +12 = 22,\quad -16 -18 = -34,\quad +22 +24 = 46,\quad \dots \] Образуется арифметическая прогрессия с чередующимся знаком и разностью 12: \(-10, +22, -34, +46, \dots\)
   Последние два слагаемых: \(-10000 -10002 = -20002\). Всего групп: \(1667\). Пары групп дают \(+12\), количество пар: \(833\). Оставшаяся группа добавляет \(-20002\): \[ S = 833 \cdot 12 -20002 = 9996 -20002 = -10006 \]
   Ответ: $\boxed{-10006}$
   
   
2. Что значит, что одно число меньше другого в 2 раза? Всегда ли мы можем сказать, что одно из двух чисел меньше другого во сколько-то раз? Если одно число меньше другого в несколько раз, то во сколько раз каждое из этих чисел будет меньше суммы данных чисел? Ответы обосновать.
   Решение:
   1. Число \(a\) в 2 раза меньше числа \(b\) означает \(b = 2a\).
   2. Не всегда: если числа противоположных знаков, отношение не определено.
   3. Если \(b = ka\), то: \[ \text{a меньше суммы }(a + b)\text{ в }(k + 1)\text{ раз}, \] \[ \text{b меньше суммы }(a + b)\text{ в }\frac{k +1}{k}\text{ раз}. \]
   Ответ:
   1. Число \(a = \frac{b}{2}\).
   2. Нет; если числа разных знаков, отношение некорректно.
   3. В \((k +1)\) и \(\frac{k +1}{k}\) раз соответственно.
3. Молоко объёмом 0,8~л стоит 33~руб. 64~коп., а масса 1~кг (970~мл) стоит 40~руб. 74~коп. Какое выгоднее?
   Решение:
   Сравним цену за литр: \begin{align} &\text{0,8 л}: \frac{33.64}{0.8} = 42.05~ \text{руб./л}, \\ &\text{970 мл}: \frac{40.74}{0.97} \approx 42.0~ \text{руб./л}. \end{align}
   Ответ: Выгоднее пакет 1~кг. Цена литра ≈42 руб.
4. Какую градусную меру может иметь угол, смежный с вертикальным углом для смежного с острым углом?
   Решение:
   • Вертикальный угол равен исходному углу.
   • Смежный угол дополняет до \(180^\circ\).
   • Поскольку исходный угол острый (\(90^\circ\)).
   Ответ: Угол будет тупым (\(90^\circ < \alpha < 180^\circ\)).
5. Изобразите множество точек с координатами \((x, y)\), где \(|x - y| \geq 2\).
   Решение:
   Область включает точки выше прямой \(y = x + 2\) и ниже прямой \(y = x - 2\).
   Ответ: Полосы между двумя параллельными прямыми, на графике выделенные пунктиром.
6. Докажите, что сумма трёх последовательных чисел, делящихся на 4, делится на 12.
   Решение:
   Пусть числа \(4k, 4(k +1), 4(k + 2)\): \[ Сумма = 12(k +1) \Rightarrow \text{делится на }12. \]
   На 120 делится, если \(k +1\) кратно 10 (например, \(k =9\)):
   Ответ: Сумма делится на 120 при \(k \equiv9 \pmod{10}\).
7. Первый квадрат получен из прямоугольника. Его площадь на 25% меньше площади отрезанной части. Второй квадрат получен аналогично. На сколько процентов его площадь меньше?
   Решение:
   Пусть площадь исходного прямоугольника \(S\), квадрата \(0.75S\).
   Второй квадрат: \(0.75(0.25S) = 0.1875S\).
   Разница площадей: \(\frac{0.75 -0.1875}{0.75} = 0.75 = 75\%\).
   Ответ: На $75\%$.