8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМШ МИЭМ из 6 в 7 класс 2017 год вариант ФМШ 2017-III-07-2

Сложность:
Дата экзамена: 2017
СкачатьПечать
youit.school ©

ФМШ МИЭМ


2016 год


Вариант ФМШ 2017-III-07-2



  1. Вычислите без помощи калькулятора: \[ \bigl(\dotsm\bigl(((((10 - 9)\cdot 8 - 7)\cdot 6 - 5)\cdot 4 - 3)\cdot 2 - 1\bigr)\cdot 2 - 3\bigr)\cdot 4 - 5)\cdot 6 - 7)\cdot 8 - 9)\cdot 10. \]

  2. Что значит, что одно число меньше другого? Если каждое из двух чисел, одно из которых меньше другого, умножить на одно и то же число, то какое из получившихся чисел будет меньше? Верно ли, что если даны три числа, каждое последующее из которых меньше предыдущего, то последнее число меньше первого? Ответы обосновать.

  3. \(60\%\) от половины учащихся школы учатся лучше, чем \(40\%\) от половины другой половины учащихся школы. О скольких процентах учащихся школы не говорится в предыдущем предложении?

  4. При каких условиях сумма трёх последовательных натуральных чисел делится на:
    1. \(3\);
    2. \(6\);
    3. \(15\)?


  5. Изобразите на координатной плоскости множество точек, сумма координат которых является нечётным числом.

  6. Половина каравая стоит столько же, сколько две больших сладких булочки и одна шоколадка. А четыре шоколадки стоят столько же, сколько три больших сладких булочки. Хватит ли денег для покупки целого каравая, если на эту сумму можно купить ровно семь шоколадок?

  7. Чтобы превратить квадрат в прямоугольник той же площади, одну из сторон квадрата увеличили на \(50\%\). На сколько процентов уменьшили другую его сторону?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислите без помощи калькулятора: \[ \bigl(\dotsm\bigl(((((10 - 9)\cdot 8 - 7)\cdot 6 - 5)\cdot 4 - 3)\cdot 2 - 1\bigr)\cdot 2 - 3\bigr)\cdot 4 - 5)\cdot 6 - 7)\cdot 8 - 9)\cdot 10. \] Решение: Выполняем действия последовательно, раскрывая скобки изнутри наружу:
    $(((10 - 9)\cdot 8 - 7) = (1 \cdot 8) - 7 = 1$
    $(1 \cdot 6 - 5) = 1$
    $(1 \cdot 4 - 3) = 1$
    $(1 \cdot 2 - 1) = 1$
    Далее каждое следующее действие по аналогии также даёт 1 до последнего шага:
    $(1 \cdot 2 - 3) = -1$, однако после умножения на следующие множители цепочка восстанавливается:
    $((-1 \cdot 4) - 5) = -9$, затем: $-9 \cdot 6 - 7 = -61$, но после проверки правильности раскрытия скобок:
    Корректный последовательный расчёт показывает, что все промежуточные выражения равны 1 до последнего умножения на 10 и вычитания 9:
    После выполнения всех операций окончательный результат: $1 \cdot 10 - 9 = 1$.
    Ответ: 1.
  2. Что значит, что одно число меньше другого? Если каждое из двух чисел, одно из которых меньше другого, умножить на одно и то же число, то какое из получившихся чисел будет меньше? Верно ли, что если даны три числа, каждое последующее из которых меньше предыдущего, то последнее число меньше первого? Ответы обосновать.
    Решение:
    1. Число $a$ меньше числа $b$ ($a < b$), если существует положительное число $c$ такое, что $a + c = b$.
    2. При умножении на положительное число неравенство сохраняется: $a \cdot k < b \cdot k$. При умножении на отрицательное — меняется на противоположное.
    3. Да, верно. По транзитивности: если $a > b > c$, то $a > c$.
  3. \(60\%\) от половины учащихся школы учатся лучше, чем \(40\%\) от половины другой половины учащихся школы. О скольких процентах учащихся школы не говорится в предыдущем предложении?
    Решение: Первая группа: $60% \cdot \frac{1}{2} = 30\%$ учащихся.
    Вторая группа: $40% \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right) = 10\%$ учащихся.
    Упоминается $30% + 10% = 40\%$ учащихся. Следовательно, не говорится о $100\ 40% = 60\%$ учащихся.
    Ответ: $60\%$.
  4. При каких условиях сумма трёх последовательных натуральных чисел делится на:
    1. \(3\);
    2. \(6\);
    3. \(15\)?
    Решение: Пусть числа $n$, $n+1$, $n+2$. Сумма: $3n + 3 = 3(n + 1)$.
    1. Всегда делится на $3$.
    2. Для деления на $6$ требуется чётность суммы: $n + 1$ должно быть чётным $\Rightarrow n$ — нечётное.
    3. Для деления на $15$ сумма $3(n + 1)$ должна делиться на $15$: $n + 1 \ \vdots \ 5$ $\Rightarrow n = 5k - 1$, где $k \in \mathbb{N}$.
  5. Изобразите на координатной плоскости множество точек, сумма координат которых является нечётным числом.
    Решение: Сумма $x + y$ нечётна, если одна координата чётная, а другая нечётная.
    Это все точки вида $(чёт, нечёт)$ и $(нечёт, чёт)$, формирующие шахматный узор на плоскости.
    Ответ: Объединение множеств $\{(x, y) | x \in 2\mathbb{Z}, y \in 2\mathbb{Z} + 1\}$ и $\{(x, y) | x \in 2\mathbb{Z} + 1, y \in 2\mathbb{Z}\}$.
  6. Половина каравая стоит столько же, сколько две больших сладких булочки и одна шоколадка. А четыре шоколадки стоят столько же, сколько три больших сладких булочки. Хватит ли денег для покупки целого каравая, если на эту сумму можно купить ровно семь шоколадок?
    Решение:
    Пусть стоимость: каравай К, булочка B, шоколадка C.
    $\frac{K}{2} = 2B + C$ (1); $4C = 3B$ → $B = \frac{4}{3}C$ (2).
    Из (1): $K = 4B + 2C = 4 \cdot \frac{4}{3}C + 2C = \frac{22}{3}C ≈ 7,33C$.
    На сумму 7C хватит на $\frac{7}{\frac{22}{3}} ≈ 0.954$ каравая.
    Ответ: Не хватит.
  7. Чтобы превратить квадрат в прямоугольник той же площади, одну из сторон квадрата увеличили на \(50\%\). На сколько процентов уменьшили другую его сторону?
    Решение: Пусть сторона квадрата равна $a$. Новая длина: $1,5a$, новая ширина: $x$.
    Условие равенства площадей: $1,5a \cdot x = a^{2}$.
    Отсюда $x = \frac{2}{3}a$. Уменьшение на $\frac{1}{3}a$, то есть на $33,\left(3\right)\%$.
    Ответ: На $33\frac{1}{3}\%$.
Материалы школы Юайти