8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМШ МИЭМ из 6 в 7 класс 2017 год

Сложность:
Дата экзамена: 2017
Печать
youit.school ©

ФМШ МИЭМ


2016 год


Вариант ФМШ 2017-III-07-1



  1. Вычислите без помощи калькулятора: \[ 1 - 2\cdot\bigl(3 - 4\cdot\bigl(5 - 6\cdot\bigl(7 - 8\cdot (9 - 10) - 9\cdot\bigl(8 - 7\cdot\bigl(6 - 5\cdot\bigl(4 - 3\cdot(2 - 1)\bigr)\bigr)\bigr)\bigr)\bigr)\bigr). \]

  2. Что значит, что одно число больше другого? Если каждое из двух чисел, одно из которых больше другого, умножить на одно и то же число, то какое из получившихся чисел будет больше? Верно ли, что если нам даны три числа, каждое последующее из которых больше предыдущего, то последнее число больше первого? Ответы обосновать.

  3. \(30\%\) от половины учащихся школы учатся лучше, чем \(20\%\) от другой половины учащихся школы. О скольких процентах учащихся школы не говорится в предыдущем предложении?

  4. При каких условиях сумма трёх последовательных натуральных чисел делится на:
    1. \(2\);
    2. \(3\);
    3. \(30\)?


  5. Изобразите на координатной плоскости множество точек, сумма координат которых является чётным числом.

  6. Половина паляницы стоит столько же, сколько маленькая сладкая булочка и две леденца. А четыре маленькие сладкие булочки стоят столько же, сколько тринадцать леденцов. Хватит ли денег для покупки целой паляницы, если на эту сумму можно купить ровно десять леденцов?

  7. Чтобы превратить прямоугольник в квадрат такой же площади, одну из сторон прямоугольника уменьшили на \(60\%\). На сколько процентов увеличили другую его сторону?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислите без помощи калькулятора: \[ 1 - 2\cdot\bigl(3 - 4\cdot\bigl(5 - 6\cdot\bigl(7 - 8\cdot (9 - 10) - 9\cdot\bigl(8 - 7\cdot\bigl(6 - 5\cdot\bigl(4 - 3\cdot(2 - 1)\bigr)\bigr)\bigr)\bigr)\bigr)\bigr). \] Решение:
    Последовательно вычислим выражения, начиная с внутренних скобок:
    • $(9 - 10) = -1$.
    • $8 \cdot (-1) = -8$. Тогда внутри первого большого выражения: $7 - (-8) = 15$.
    • $(2 - 1) = 1$. Рассмотрим другую ветвь скобок: $$\begin{aligned} 3 \cdot 1 &= 3 \\ 4 - 3 &= 1 \\ 5 \cdot 1 &= 5 \\ 6 - 5 &= 1 \\ 7 \cdot 1 &= 7 \\ 8 - 7 &= 1 \\ \end{aligned}$$
    • Получаем $9 \cdot 1 = 9$. Теперь объединяем результаты: $15 - 9 = 6$.
    • Продолжаем вычисления: $$\begin{aligned} 5 - 6 \cdot 6 &= 5 - 36 = -31 \\ 3 - 4 \cdot (-31) &= 3 + 124 = 127 \\ \end{aligned}$$
    • Финальный расчёт: $1 - 2 \cdot 127 = 1 - 254 = -253$.
    Ответ: $-253$.

  2. Что значит, что одно число больше другого? Если каждое из двух чисел, одно из которых больше другого, умножить на одно и то же число, то какое из получившихся чисел будет больше? Верно ли, что если нам даны три числа, каждое последующее из которых больше предыдущего, то последнее число больше первого? Ответы обосновать. Решение:
    1. Число $a > b$ означает, что $a - b > 0$.
    2. При умножении на положительное число неравенство сохраняется: если $a > b$ и $k > 0$, то $ka > kb$. Если $k < 0$, неравенство меняется на противоположное: $ka < kb$.
    3. Если $a < b < c$, то по транзитивности неравенств $\forall a, b, c \in \mathbb{R}: a < b \land b < c \Rightarrow a < c$.
    Ответы:
    1. При умножении на положительное число порядок сохраняется, на отрицательное — меняется.
    2. Транзитивность верна.
  3. \(30\%\) от половины учащихся школы учатся лучше, чем \(20\%\) от другой половины учащихся школы. О скольких процентах учащихся школы не говорится в предыдущем предложении? $\newline$ Решение: $\newline$ Общее количество учащихся примем за 100% ($S$). Половины: $0,5S$ и $0,5S$.
    • $30\%$ первой половины: $0,3 \cdot 0,5S = 0,15S$.
    • $20\%$ второй половины: $0,2 \cdot 0,5S = 0,1S$.
    Всего упомянуто: $0,15S + 0,1S = 0,25S$ ($25\%$). $\newline$ Следовательно, не упомянуто: $100\ 25% = 75\%$ учащихся. $\newline$ Ответ: $75\%$.
  4. При каких условиях сумма трёх последовательных натуральных чисел делится на:
    1. \(2\);
    2. \(3\);
    3. \(30\)?
    Решение: $\newline$ Пусть три последовательных числа: $n$, $n+1$, $n+2$. Их сумма: \[ S = n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3 = 3(n + 1). \]
    1. Деление на $2$: $3(n+1)$ должно быть чётным. Так как $3$ нечётно, $n+1$ должно быть чётным $\Rightarrow n$ — нечётное.
    2. Деление на $3$: Всегда делится, так как сумма равна $3(n+1)$.
    3. Деление на $30$: $3(n + 1) \vdots 30 \Rightarrow n+1 \vdots 10 \Rightarrow n \equiv 9 \ (\text{mod} \ 10)$ (т.е. числа начинаются с $9$, $19$, $29$, и т.д.).
    Ответы:
    1. При $n$ нечётном.
    2. Всегда делится.
    3. Когда первое число тройки оканчивается на $9$.
  5. Изобразите на координатной плоскости множество точек, сумма координат которых является чётным числом. $\newline$ Решение: $\newline$ Сумма координат $(x + y)$ чётна, если обе координаты одной чётности: оба чётные или оба нечётные. Это множество образует шахматный узор, где точки с целыми координатами чередуются чёрными и белыми клетками.
  6. Половина паляницы стоит столько же, сколько маленькая сладкая булочка и две леденца. А четыре маленькие сладкие булочки стоят столько же, сколько тринадцать леденцов. Хватит ли денег для покупки целой паляницы, если на эту сумму можно купить ровно десять леденцов? $\newline$ Решение: $\newline$ Обозначим:
    • $P$ — цена паляницы,
    • $B$ — цена булочки,
    • $C$ — цена леденца.
    Из условий: $$\begin{aligned} \frac{1}{2}P &= B + 2C \quad (1)\\ 4B &= 13C \quad \Rightarrow B = \frac{13}{4}C \quad (2)\\ \end{aligned}$$ Подставляем $B$ из $(2)$ в $(1)$: \[ \frac{1}{2}P = \frac{13}{4}C + 2C = \frac{21}{4}C \quad \Rightarrow P = \frac{21}{2}C = 10,5C. \] Если $10$ леденцов стоят $10C$, то паляница стоит $10,5C$. Не хваит $0,5C$. $\newline$ Ответ: Нет, денег не хватит.
  7. Чтобы превратить прямоугольник в квадрат такой же площади, одну из сторон прямоугольника уменьшили на \(60\%\). На сколько процентов увеличили другую его сторону? $\newline$ Решение: $\newline$ Пусть исходные стороны прямоугольника $a$ и $b$. Площадь квадрата $ab$. Новая сторона после уменьшения: $0,4a$. Вычисляем вторую сторону квадрата: \[ \text{Новая сторона} = \frac{ab}{0,4a} = 2,5b. \] Процент увеличения: $\frac{2,5b - b}{b} \cdot 100% = 150\%$. $\newline$ Ответ: На $150\%$.
Материалы школы Юайти