8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМШ МИЭМ из 6 в 7 класс 2017 год вариант ФМШ 2017-II-07-1

Сложность:
Дата экзамена: 2017
Осенние курсы Юайти
Математика/Программирование/Физика
Скидки до 20%
Печать
youit.school ©

ФМШ МИЭМ


2016 год


Вариант ФМШ 2017-II-07-1



  1. Вычислите: \[ \frac{-1} {-1 \;-\;\dfrac{-1}{-1}\;-\;1} \;\colon\; \frac{\dfrac{-1-1}{-1}\;-\;1} {-1 \;-\;\dfrac{-1}{-1-1}} \;-\;1. \]

  2. Что такое коэффициент? Любое ли выражение имеет коэффициент? Верно ли, что коэффициент суммы двух выражений равен сумме коэффициентов этих выражений?

  3. Миша и Коля считали ворон. Коля насчитал половину от того, что насчитал Миша, и ещё 7 ворон. Миша насчитал половину от того, что насчитал Коля, и ещё 10 ворон. Сколько было ворон, если и Коля, и Миша ошиблись на одну ворону?

  4. Точка \(M\) с координатой 2 делит отрезок \(AB\) в отношении \(3:1\). Точка \(A\) имеет координату \(-1\). Найдите координату точки \(N\), которая делит отрезок \(AB\) в отношении \(1:3\).

  5. Какое целое значение должен принимать диаметр круга, чтобы площадь этого круга была как можно ближе к площади прямоугольника со сторонами 3 и 11?

  6. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют только одному из следующих условий:
    1. абсцисса больше ординаты;
    2. сумма абсциссы и ординаты равна нулю.


  7. Найдите три целых числа, каждое из которых, начиная со второго, либо больше предыдущего на 4, либо вдвое меньше его, и при этом сумма всех трёх чисел равна 24.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислите: \[ \frac{-1} {-1 \;-\;\dfrac{-1}{-1}\;-\;1} \;\colon\; \frac{\dfrac{-1-1}{-1}\;-\;1} {-1 \;-\;\dfrac{-1}{-1-1}} \;-\;1. \] Решение: Поэтапно упростим выражения в числителях и знаменателях дробей:
    Первая дробь: \[ \frac{-1}{-1 - \frac{-1}{-1} - 1} = \frac{-1}{-1 - 1 -1} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3} \]
    Вторая дробь: \[ \frac{\frac{-1-1}{-1} -1}{-1 - \frac{-1}{-1-1}} = \frac{\frac{-2}{-1} -1}{-1 - \frac{-1}{-2}} = \frac{2 -1}{-1 - 0,5} = \frac{1}{-1,5} = -\frac{2}{3} \]
    Результат деления дробей: \[ \frac{1}{3} : \left(-\frac{2}{3}\right) = -\frac{1}{2} \]
    Вычтем 1: \[ -\frac{1}{2} - 1 = -\frac{3}{2} = -1,5 \] Ответ: $-1,5$.

  2. Что такое коэффициент? Любое ли выражение имеет коэффициент? Верно ли, что коэффициент суммы двух выражений равен сумме коэффициентов этих выражений?
    Решение: Коэффициент — числовой множитель одночлена в алгебраическом выражении. Не любое выражение имеет коэффициент: например, сумма не подобных членов (вроде «x + y») не выделяет единого коэффициента. Коэффициент суммы равен сумме коэффициентов только для подобных слагаемых. Например, для $5x + 7x = 12x$ коэффициент суммы равен 12 = 5 + 7. Но для $x + y$ это утверждение не имеет смысла.
    Ответ:
    • Коэффициент — числовой множитель при одночлене;
    • Не любое выражение имеет коэффициент (только одночлены);
    • Нет, верно только для суммы подобных слагаемых.


  3. Миша и Коля считали ворон. Коля насчитал половину от того, что насчитал Миша, и ещё 7 ворон. Миша насчитал половину от того, что насчитал Коля, и ещё 10 ворон. Сколько было ворон, если и Коля, и Миша ошиблись на одну ворону?
    Решение: Обозначим реальное количество ворон как $x$. Пусть Миша насчитал $m$, Коля — $k$. По условию:
    $k = 0,5m + 7 \pm1$,
    $m = 0,5k + 10 \pm1$.
    Рассмотрим возможные комбинации погрешностей (±1 для каждого уравнения):
    1 случай: $k = 0,5m +8$, $m =0,5k +9$. Решение:
    Подставим $k$ во второе уравнение:
    $m =0,5(0,5m +8)+9=0,25m +4 +9=0,25m +13$
    $0,75m =13 \Rightarrow m=17,(3)$ — нецелое число.
    2 случай: $k =0,5m +6$, $m=0,5k +9$. Подстановка:
    $m=0,5(0,5m +6)+9=0,25m +3 +9=0,25m +12$
    $0,75m =12 \Rightarrow m=16$, тогда $k=0,5·16+6=14$, тогда реальное количество $x=k+1=15$ или $x=k-1=13$? Но проверим второе условие при этом: $m=0,5k +9$, при k=14, m=7+9=16 — совпадает. Тогда ошибка могла быть в любую сторону. Но суммарно если Миша и Коля ошиблись на 1, то реальное количество должно отличаться на 1 от их подсчета. Но тогда либо оба ошиблись в большую сторону, либо меньшую. Пусть $x =m ± 1=k ±1$.
    При $m=16$, $x$ может быть 15 или 17, но тогда K=14 → x=15 или 13. Если совместить: x=15 → тогда Миша мог посчитать 16 (ошибка +1), Коля –14 (ошибка –1). Подходит. Тогда ответ: 15.
    Ответ: 15 ворон.

  4. Точка \(M\) с координатой 2 делит отрезок \(AB\) в отношении \(3:1\). Точка \(A\) имеет координату \(-1\). Найдите координату точки \(N\), которая делит отрезок \(AB\) в отношении \(1:3\).
    Решение: Используем формулу деления отрезка в заданном отношении. Для точки M:
    $x_M = \frac{3x_B + x_A}{3 +1} = 2 \Rightarrow \frac{3x_B -1}{4} = 2$
    $3x_B -1 =8 ⇒3x_B=9 ⇒x_B=3$
    Теперь найдем координату N, делящей AB в отношении 1:3 (считая от A):
    $x_N = \frac{1·x_B +3·x_A}{1+3} = \frac{3 +3·(-1)}{4} = \frac{3-3}{4} =0$
    Ответ: 0.

  5. Какое целое значение должен принимать диаметр круга, чтобы площадь этого круга была как можно ближе к площади прямоугольника со сторонами 3 и 11?
    Решение: Площадь прямоугольника $3·11 =33$. Площадь круга $\pi \left(\frac{D}{2}\right)^2 ≈0,785D^2$. Найдем D из уравнения:
    $D^2 ≈ \frac{33·4}{\pi} ≈42,04 ⇒ D≈6,48$. Ближайшие целые D: 6 и 7.
    При D=6: площадь≈28,27 (разница ≈4,73)
    При D=7: площадь≈38,48 (разница≈5,48)
    Ответ: 6.

  6. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют только одному из следующих условий:
    1. абсцисса больше ординаты;
    2. сумма абсциссы и ординаты равна нулю.

    Решение: Искомая область — объединение областей $(x > y)$ и $(x + y =0)$ без их пересечения. Графически:
    — Прямая $x+y=0$ (исключая точки, где $x > y$)
    — Область $x > y$ (исключая точки на прямой $x+y=0$)
    Ответ: Точки, расположенные выше прямой $y=-x$ и левее биссектрисы первого квадранта, за исключением их пересечения.

  7. Найдите три целых числа, каждое из которых, начиная со второго, либо больше предыдущего на 4, либо вдвое меньше его, и при этом сумма всех трёх чисел равна 24.
    Решение: Рассмотрим возможные последовательности:
    1 случай: Все три числа увеличиваются на 4:
    $a + (a+4) + (a+8) =24 ⇒3a +12=24 ⇒a=4$. Числа:4,8,12.
    2 случай: Первое увеличение, затем уменьшение:
    $a$, $a+4$, $\frac{a+4}{2}$. Сумма: $a +a +4 +\frac{a+4}{2}=24$
    Умножим на 2: $4a +8 +a +4=48 ⇒5a=36⇒a=7,2$ — не целое.
    3 случай: Уменьшение, затем увеличение:
    $a$, $\frac{a}{2}$, $\frac{a}{2} +4$. Сумма: $a + \frac{a}{2} + \frac{a}{2} +4= a + \frac{2a}{2} +4=2a +4=24 ⇒a=10$. Числа:10,5,9 — третье число должно быть или $\frac52 +4$, но 5 четное? Нет, $\frac{10}{2}=5$, тогда третье число 5+4=9. Сумма:10+5+9=24. Верно.
    Ответ: Например, 4,8,12 или 10,5,9.
Материалы школы Юайти