ФМШ МИЭМ из 6 в 7 класс 2017

ФМШ МИЭМ

2016 год

Вариант ФМШ 2017-07-2

1. Решите уравнение: \[ \frac{\frac{x}{2}-x}{2+\frac{x}{x+\frac{x}{2}}}\;-\;x = x\;-\;\frac{x+\frac{x}{2}}{2}\;-\;\frac{x}{\frac{x}{2}-x}. \]
2. Что такое неправильная дробь? Каких неправильных дробей, лежащих между числами \(1.35\) и \(2.6\), больше: с знаменателем \(3\) или с числителем \(7\)? Верно ли, что сумма неправильных дробей является неправильной дробью? Ответы обосновать.
3. Молоко с каким процентом жирности будет содержаться в стакане, занимающем \(25\%\) объёма кувшина, в котором смешали \(6\%\)-ное молоко с водой в отношении \(2:1\)?
4. Из точки на листе бумаги проведены четыре луча, разделяющие плоскость на четыре угла, каждый следующий из которых в два раза больше предыдущего. На какое максимальное число частей может быть разбита плоскость, если провести на ней одну дополнительную прямую?
5. Старинные часы с кукушкой имеют уникальную особенность: кукушка может появиться в любое время, но только если обе стрелки находятся в правой половине циферблата. Какую часть суток составляет время, в течение которого кукушка точно не появится?
6. Изобразите на координатной плоскости множество точек \((x,y)\), удовлетворяющих одновременно условиям \[ 1 + y > 2y + x, \quad x + y > -2 - x. \]
7. При делении некоторого положительного трёхзначного числа на \(27\) в остатке получилось \(9\), а при делении того же числа на \(14\) в остатке оказалось \(8\). Каковы минимальное и максимальное числа, удовлетворяющие указанным условиям? Ответ обосновать.

Решения задач

1. Решите уравнение: \[ \frac{\frac{x}{2}-x}{2+\frac{x}{x+\frac{x}{2}}}\;-\;x = x\;-\;\frac{x+\frac{x}{2}}{2}\;-\;\frac{x}{\frac{x}{2}-x}. \] Решение:
   Упростим левую и правую части по отдельности.
   
   Левая часть: \[ \frac{\frac{x}{2}-x}{2+\frac{x}{x+\frac{x}{2}}} - x = \frac{-\frac{x}{2}}{2+\frac{x}{\frac{3x}{2}}} - x = \frac{-\frac{x}{2}}{2+\frac{2x}{3x}} - x = \frac{-\frac{x}{2}}{2+\frac{2}{3}} - x = \frac{-\frac{x}{2}}{\frac{8}{3}} - x = -\frac{3x}{16} - x = -\frac{19x}{16} \]
   
   Правая часть: \[ x - \frac{x+\frac{x}{2}}{2} - \frac{x}{\frac{x}{2}-x} = x - \frac{\frac{3x}{2}}{2} - \frac{x}{-\frac{x}{2}} = x - \frac{3x}{4} + 2 = \frac{x}{4} + 2 \]
   
   Получаем уравнение: \[ -\frac{19x}{16} = \frac{x}{4} + 2 \quad \Rightarrow \quad -\frac{19x}{16} - \frac{4x}{16} = 2 \quad \Rightarrow \quad -\frac{23x}{16} = 2 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{32}{23} \]
   
   Ответ: \(-\dfrac{32}{23}\).
   
   
2. Что такое неправильная дробь? Каких неправильных дробей, лежащих между числами \(1.35\) и \(2.6\), больше: с знаменателем \(3\) или с числителем \(7\)? Ответы обосновать.
   
   Решение:
   Неправильная дробь — дробь, где числитель ≥ знаменателю.
   
   
   • Дроби со знаменателем 3: \[ \frac{4}{3} = 1.\overline{3},\; \frac{5}{3} = 1.\overline{6},\; \frac{6}{3} = 2,\; \frac{7}{3} ≈ 2.33 \] Подходят: \( \frac{5}{3},\; \frac{6}{3},\; \frac{7}{3} \) → 3 дроби.
     
     
   • Дроби с числителем 7: \[ \frac{7}{3} ≈ 2.33,\; \frac{7}{4} = 1.75,\; \frac{7}{5} = 1.4,\; \frac{7}{6} ≈ 1.17,\; \frac{7}{2} = 3.5 \] Подходящие: \( \frac{7}{5},\; \frac{7}{4},\; \frac{7}{3} \) → 3 дроби.
     
     
   
   
   Ответ: Одинаково (по 3). Сумма неправильных дробей не всегда неправильная (например: \( \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 3 \) — целое; \( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \)) — утверждение неверно.
   
   
3. Молоко с каким процентом жирности будет содержаться в стакане, занимающем \(25\%\) объёма кувшина, в котором смешали \(6\%\)-ное молоко с водой в отношении \(2:1\)?
   
   Решение:
   Общее отношение молока к воде в кувшине \(2:1\), значит жирность смеси: \[ \frac{2}{3} \cdot 6% = 4\% \] Стакан берет $25%$ смеси, сохраняя концентрацию — жирность остаётся $4%$.
   
   Ответ: $4\%$.
   
   
4. Из точки на листе бумаги проведены четыре луча, разделяющие плоскость на четыре угла, каждый следующий из которых в два раза больше предыдущего. На какое максимальное число частей может быть разбита плоскость, если провести на ней одну дополнительную прямую?
   
   Решение:
   Пусть углы между лучами: α, 2α, 4α, 8α. Сумма α + 2α + 4α + 8α = 15α = 360° ⇒ α = 24°. Углы: 24°, 48°, 96°, 192°. Проведя прямую через точку пересечения лучей, она пересечёт все 4 угла, разделив каждый на два → 4 $\cdot$ 2 = 8 частей. Но максимум достигается при пересечении всех лучей дополнительной прямой: 4 пересечения → делит плоскость на 4 $\cdot$ 2 + 1 = 9 частей.
   
   Ответ: 9 частей.
   
   
5. Старинные часы с кукушкой имеют уникальную особенность: кукушка может появиться в любое время, но только если обе стрелки находятся в правой половине циферблата. Какую часть суток составляет время, в течение которого кукушка точно не появится?
   
   Решение:
   Кукушка не появится, если хотя бы одна стрелка в левой половине (9:00 ≤ угол ≤ 21:00). Минутная стрелка в правой половине (0-30 мин) каждые 2 часа → 50% времени. Часовая стрелка в правой половине с 6:00 до 18:00 → 12 часов. Итог: отсутствие кукушки равно дополнению к событиям одновременного нахождения обеих стрелок справа. Рассчитать через симметрию: вероятность \(P = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\). Тогда время "не кукушки" составляет \(1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\) суток.
   
   Ответ: \(\frac{3}{4}\) суток.
   
   
6. Изобразите на координатной плоскости множество точек \((x,y)\), удовлетворяющих одновременно условиям: \[ 1 + y > 2y + x, \quad x + y > -2 - x. \] Решение:
   Преобразуем неравенства:
   
   1. \(1 + y > 2y + x \quad \Rightarrow \quad y -2 - x \quad \Rightarrow \quad 2x + y > -2 \quad \Rightarrow \quad y > -2x - 2\)
   
   Область решений: между линиями \(y = 1 - x\) (исключая верх) и \(y = -2x - 2\) (исключая низ).
   
   Ответ: Пересечение областей ниже прямой \(y = 1 - x\) и выше \(y = -2x - 2\).
   
   
7. При делении некоторого положительного трёхзначного числа на \(27\) в остатке получилось \(9\), а при делении того же числа на \(14\) в остатке оказалось \(8\). Каковы минимальное и максимальное числа, удовлетворяющие указанным условиям?
   
   Решение:
   Пусть \(N = 27k + 9 = 14m + 8\).
   Тогда \(27k + 9 ≡ 8 \mod{14} \quad ⇒ \quad 27k ≡ -1 ≡ 13 \mod{14}\).
   Так как \(27 ≡ 13 \mod{14}\), то уравнение: \(13k ≡ 13 \mod{14} ⇒ k ≡ 1 \mod{14}\).
   Подставляем \(k = 14t + 1\): \(N = 27(14t + 1) + 9 = 378t + 36\).
   Трёхзначные числа: \(102 ≤ 378t + 36 ≤ 999\).
   Определим \(t\):
   \(378t + 36 ≥ 100 ⇒ t ≥ 0.18 ⇒ t = 1\) → N = 414
   \(378t + 36 ≤ 999 ⇒ t ≤ 2.55 ⇒t_{max} = 2\) → N = 792
   
   Ответ: Минимальное 414, максимальное 792.