ФМШ МИЭМ из 6 в 7 класс 2017 год
Печать
youit.school ©
ФМШ МИЭМ
2016 год
Вариант ФМШ 2017-07-1
- Решите уравнение:
\[
\frac{x - \frac{x}{3}}{\frac{x}{3} + x}
\;=\;
\frac{\frac{x}{3} - x}{\frac{x}{\frac{x}{3}} - x}.
\]
- Что такое правильная дробь? Каких правильных дробей, лежащих между числами \(0.38\) и \(0.72\), больше: с знаменателем 7 или с числителем 3? Верно ли, что произведение правильных дробей является правильной дробью? Ответы обосновать.
- Молоко с каким процентом жирности будет содержаться в стакане, содержащем \(20\%\) объёма кувшина, в котором смесь шестипроцентного молока с водой была взята в отношении 3:1?
- Из точки на листе бумаги проведены четыре луча, которые делят плоскость на четыре угла, каждый следующий из которых в три раза больше предыдущего. На какое максимальное число частей может быть разбита плоскость, если на ней провести дополнительно одну прямую?
- Старинные часы с кукушкой имеют уникальную особенность: кукушка может появиться в любое время, но только если обе стрелки находятся в нижней половине циферблата. Какую часть суток составляет время, в течение которого кукушка точно не появится?
- Изобразите на координатной плоскости множество точек \((x,y)\), одновременно удовлетворяющих неравенствам
\[
x + y > 2y + 1,
\qquad
x - y < 2 - x.
\]
- При делении некоторого положительного трёхзначного числа на 16 в остатке получилось 8, а при делении того же числа на 9 в остатке 6. Каковы минимальное и максимальное такие числа? Ответ обосновать.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Задача 1
- Решите уравнение:
\[
\frac{x - \frac{x}{3}}{\frac{x}{3} + x}
\;=\;
\frac{\frac{x}{3} - x}{\frac{x}{\frac{x}{3}} - x}
\]
Решение:
Упростим левую часть:
$\frac{x - \frac{x}{3}}{\frac{x}{3} + x} = \frac{\frac{2x}{3}}{\frac{4x}{3}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
Упростим правую часть:
$\frac{\frac{x}{3} - x}{\frac{x}{\frac{x}{3}} - x} = \frac{-\frac{2x}{3}}{3 - x}$
Уравнение принимает вид:
$\frac{1}{2} = \frac{-\frac{2x}{3}}{3 - x}$
Умножаем обе части на $3(3 - x)$:
$\frac{3}{2}(3 - x) = -2x$
$9 - 3x = -4x$
$x = -9$
Проверка подстановкой подтверждает корректность решения.
Ответ: $-9$.
Задача 2 - Правильная дробь — дробь, у которой числитель меньше знаменателя.
Найдем правильные дроби между $0,38$ и $0,72$:
- С знаменателем 7: $0,38 < \frac{a}{7} < 0,72$. Подходят $\frac{3}{7} \approx 0,428$, $\frac{4}{7} \approx 0,571$, $\frac{5}{7} \approx 0,714$ — всего 3 дроби.
- С числителем 3: $0,38 < \frac{3}{b} < 0,72$. Решаем $3/0,72 < b < 3/0,38$ $\Rightarrow$ $4,17 < b < 7,89$, подходят $b=5,6,7$, что даёт дроби $\frac{3}{5}=0,6$, $\frac{3}{6}=0,5$, $\frac{3}{7} \approx 0,428$ — тоже 3 дроби.
Количество дробей одинаково.
Произведение правильных дробей: Пусть $\frac{a}{b} < 1$ и $\frac{c}{d} < 1$, тогда $\frac{ac}{bd} < \frac{ad}{bd} = \frac{a}{b} < 1$ — верно.
Ответ: Количество дробей одинаково; произведение правильных дробей — правильная дробь.
Задача 3 - Концентрация шестипроцентного молока в смеси с водой ($3:1$):
$\frac{3 \cdot 6\%}{3 + 1} = \frac{18\%}{4} = 4,5\%$
Стакан содержит $20\%$ объёма кувшина данной смеси, поэтому процент жирности сохраняется.
Ответ: $4,5\%$.
Задача 4 - Пусть углы между лучами $9^{\circ}$, $27^{\circ}$, $81^{\circ}$, $243^{\circ}$ (сумма $9+27+81+243 = 360^{\circ}$).
Проведём прямую, пересекающую все четыре луча. Максимальное количество областей:
Изначально 4 угла. Прямая пересекает 4 луча в 2 точках, добавляя $2 + 1 = 3$ области.
Всего частей: $4 + 3 = 7$.
Ответ: На 7 частей.
Задача 5 - Кукушка появляется только при нахождении обеих стрелок в нижней половине (от $90^{\circ}$ до $270^{\circ}$). Рассмотрим симметрию: за сутки каждая стрелка проводит в нижней половине $50\%$ времени. Вероятность одновременного нахождения обеих стрелок в нижней половине: $0,5 \cdot 0,5 = 0,25$.
Время без кукушки: $1 - 0,25 = 0,75$.
Ответ: $\frac{3}{4}$ суток.
Задача 6 - Упростим неравенства:
- $x + y > 2y + 1$ $\Rightarrow$ $x - y > 1$ $\Rightarrow$ $y < x - 1$.
- $x - y < 2 - x$ $\Rightarrow$ $2x - y 2x - 2$.
Область решений — полоса между прямыми $y = x - 1$ (ниже) и $y = 2x - 2$ (выше).
Ответ: Графически — пересечение полуплоскостей.
Задача 7 - Число $N$ удовлетворяет условиям:
$N = 16k + 8$,
$N \equiv 6 \mod{9}$.
Решаем $16k + 8 \equiv 6 \mod{9}$ $\Rightarrow$ $7k \equiv 7 \mod{9}$ $\Rightarrow$ $k \equiv 1 \mod{9}$.
Тогда $N = 144t + 24$, где $t \geq 1$.
Для трёхзначных чисел: $100 \leq 144t + 24 \leq 999$.
Минимальное: $t = 1$ ⇒ $N = 168$.
Максимальное: $t = 6$ ⇒ $N = 888$.
Ответ: $\min = 168$, $\max = 888$.
Материалы школы Юайти