8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМШ МИЭМ из 6 в 7 класс 2016 год

Сложность:
Дата экзамена: 2016
Печать
youit.school ©

ФМШ МИЭМ


2016 год


Вариант ФМШ2016-II-07-2



  1. Решите уравнение: $\frac{\frac{1-\frac{x}{2}}{3}-3}{4} \cdot 2+1=2 \cdot \frac{4-\frac{\frac{x}{3}-1}{2}}{3}$
  2. Катя задумала два числа. Их сумма равна 70, а НОК равно $147 .$ Какие это числа? (Автор задачи: Кристина Садовски, 7 класс, пос. Дубово́е, Белгородская обл.)
  3. Что такое координатная прямая? Где отмечаются на координатной прямой положительные числа? Что такое координата точки?
  4. Два луча, исходящих из точки $A$, пересекаются с некоторой прямой в точках $B$ и $C$. На этой же прямой отмечена точка $E$ такая, что сумма углов $A C E$ и $E B A$ равна величине развёрнутого угла. Может ли угол $A E B$ быть больше угла $A B E ?$ Ответ обоснуйте.
  5. Белка с бельчонком запасали на зиму грибы. Бельчонок собрал $80 \%$ от двух третей количества грибов, собранных белкой, при этом белка смогла разложить все грибы в 14 коробочек, каждая из которых вмещает одинаковое количество грибов, при этом свободных мест в коробочках не осталось. Сколько грибов собрали белка с бельчонком, если известно, что их не больше 500 ?
  6. Пусть $3<a \leq 8 ;-2 \leq b<4 .$ Между какими числами будут находиться: (а) разность $a-b ;$ (б) произведение $a \cdot b$ ? Ответы обоснуйте.
  7. Если $14=3,27=5,32=-1,46=2$, то чему равно 51?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решите уравнение: $\frac{\frac{1-\frac{x}{2}}{3}-3}{4} \cdot 2+1=2 \cdot \frac{4-\frac{\frac{x}{3}-1}{2}}{3}$
    Решение:
    Последовательно упростим обе части уравнения:
    Левая часть: $\left(\frac{\frac{1 - \frac{x}{2}}{3} - 3}{4}\right) \cdot 2 + 1 = \left(\frac{\frac{1 - \frac{x}{2} - 9}{3}}{4}\right) \cdot 2 + 1 = \frac{-x - 8}{12} \cdot 2 + 1 = \frac{-x - 8}{6} + 1 = \frac{-x - 2}{6}$
    Правая часть: $2 \cdot \frac{4 - \frac{\frac{x}{3} - 1}{2}}{3} = 2 \cdot \frac{4 - \frac{x}{6} + \frac{1}{2}}{3} = 2 \cdot \frac{4,5 - \frac{x}{6}}{3} = \frac{9 - \frac{x}{3}}{3} = 3 - \frac{x}{9}$
    Уравнение принимает вид: $\frac{-x - 2}{6} = 3 - \frac{x}{9}$
    Умножим обе части на 18: $-3x - 6 = 54 - 2x$
    $-x = 60$
    $x = -60$
    Ответ: $-60$.
  2. Катя задумала два числа. Их сумма равна 70, а НОК равно 147. Какие это числа?
    Решение: Пусть числа $a$ и $b$. Тогда $a + b = 70$, $\text{НОК}(a, b) = 147$. Разложим 147 на множители: $147 = 3 \times 7^2$. Пары делителей: (21, 49). Проверим:
    $21 + 49 = 70$, $\text{НОК}(21, 49) = 147$.
    Ответ: 21 и 49.
  3. Что такое координатная прямая? Где отмечаются на координатной прямой положительные числа? Что такое координата точки?
    Ответ:
    • Координатная прямая — прямая с выбранными началом отсчета (0), единичным отрезком и направлением.
    • Положительные числа находятся справа от нуля.
    • Координата точки — число, соответствующее ее положению относительно начала на координатной прямой.
  4. Два луча, исходящих из точки $A$, пересекаются с некоторой прямой в точках $B$ и $C$. На этой же прямой отмечена точка $E$ такая, что сумма углов $ACE$ и $EBA$ равна величине развёрнутого угла. Может ли угол $AEB$ быть больше угла $ABE$?
    Решение: Представим схему. Сумма $\angle ACE + \angle EBA = 180^\circ$. Рассмотрим треугольник $AEB$. Углы $\angle AEB$ и $\angle ABE$ могут быть различными.
    По теореме о сумме углов треугольника, углы при основании равны только в равнобедренном треугольнике. Если точка $E$ находится ближе к $B$, угол $\angle AEB$ может быть больше. Ответ: да, может.
  5. Белка с бельчонком запасали на зиму грибы. Бельчонок собрал $80 \%$ от двух третей количества грибов, собранных белкой. Белка разложила грибы в 14 коробок без остатка. Сколько грибов собрали вместе, если их не больше 500?
    Решение: Пусть белка собрала $N$ грибов. Тогда:
    Бельчонок собрал: $0,8 \times \frac{2N}{3} = \frac{8N}{15}$
    Всего грибов: $N + \frac{8N}{15} = \frac{23N}{15}$
    $N$ кратно 14 и 15 (по условию разложения без остатка), НОК(14, 15) = 210. Наибольшее возможное $N = 210 \times 2 = 420$ (так как $\frac{23 \times 420}{15} = 644 > 500$). Тогда берем $N = 210$:
    Всего грибов: $\frac{23 \times 210}{15} = 322$
    Ответ: 322.
  6. Пусть $3 < a \leq 8$; $-2 \leq b < 4$. Между какими числами находятся: а) разность $a - b$; б) произведение $a \cdot b$?
    Решение:
    • $\text{а) }$ Минимум: $a = 3,0001$, $b = 4^{-}$ $\Rightarrow 3 - 4 = -1$, максимум: $a = 8$, $b = -2$ $\Rightarrow 8 - (-2) = 10$. Ответ: $a - b \in (-1; 10]$.
    • $\text{б) }$ Минимум: $a = 8$, $b = -2$ $\Rightarrow 8 \times (-2) = -16$, максимум: $a = 8$, $b = 4^{-}$ $\Rightarrow 8 \times 4 = 32$. Ответ: $a \cdot b \in (-16; 32)$.
  7. Если $14=3$, $27=5$, $32=-1$, $46=2$, то чему равно $51$?
    Решение: Заметим, что значение равно разности между второй и первой цифрами исходного числа:
    $14: 4 - 1 = 3$; $27: 7 - 2 = 5$; $32: 2 - 3 = -1$; $46: 6 - 4 = 2$. Тогда для $51$: $1 - 5 = -4$.
    Ответ: $-4$.
Материалы школы Юайти