8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМШ МИЭМ из 6 в 7 класс 2016 год

Сложность:
Дата экзамена: 2016
Печать
youit.school ©

ФМШ МИЭМ


2016 год


Вариант ФМШ2016-III-07-1



  1. Решите уравнение: $x \cdot \frac{2 x \cdot \frac{3 x}{4 x}}{x \cdot \frac{3 x}{2 x}}=\frac{\frac{\frac{x}{2}+x}{2 x}+\frac{x-\frac{x}{2}}{x}}{\frac{x+\frac{x}{3}}{x}+\frac{x}{3}-x}$
  2. Какие точки называют симметричными относительно прямой? Существует ли имеющая ось симметрии геометрическая фигура, разре́зав которую на две части мы получим две фигуры, также имеющие оси симметрии? А чтобы получающиеся фигуры можно было бесконечно разреза́ть на две части, и при этом каждая из них также имела бы ось симметрии? Ответы обосновать.
  3. В саду в улье живут правильные и неправильные пчёлы. В день правильная пчела приносит 300 миллиграммов нектара, а неправильные пчёлы втроём приносят 100 миллиграммов нектара. В улье 14000 пчёл. В день они приносят в улей 1400 граммов нектара. Сколько в улье неправильных пчёл? (Aвтор задачи: Роман Белинский, 8 класс, Москва)
  4. Центр окружности находится в вершине квадрата. Найдите отношение площади круга, ограниченного данной окружностью, к площади квадрата, если окружность разбивает квадрат на две части, равные по площади?
  5. Найдите отношение скоростей автомобилей, если у первого автомобиля колёса крутятся в 3 раза быстрее, чем у второго автомобиля, но при этом внешние радиусы колёс первого автомобиля в 2 раза меньше внешних радиусов колёс второго автомобиля.
  6. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют условию: $$ 1<y-x \leq 4 $$
  7. Найдите количество четырёхзначных чисел, состоящих из различных цифр, две из которых равны 7 и 3, чтобы оно делилось без остатка на $30 .$
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решите уравнение: $x \cdot \frac{2 x \cdot \frac{3 x}{4 x}}{x \cdot \frac{3 x}{2 x}}=\frac{\frac{\frac{x}{2}+x}{2 x}+\frac{x-\frac{x}{2}}{x}}{\frac{x+\frac{x}{3}}{x}+\frac{x}{3}-x}$
    Решение: Упростим левую и правую части уравнения отдельно.
    Левая часть: \[ x \cdot \frac{2x \cdot \frac{3x}{4x}}{x \cdot \frac{3x}{2x}} = x \cdot \frac{\frac{6x^2}{4x}}{\frac{3x^2}{2x}} = x \cdot \frac{\frac{3x}{2}}{\frac{3x}{2}} = x \cdot 1 = x \]
    Правая часть: \[ \frac{\frac{\frac{3x}{2}}{2x} + \frac{\frac{x}{2}}{x}}{\frac{\frac{4x}{3}}{x} + \frac{x}{3} - x} = \frac{\frac{3}{4} + \frac{1}{2}}{\frac{4}{3} - \frac{2x}{3}} = \frac{\frac{5}{4}}{\frac{4 - 2x}{3}} = \frac{15}{4(4 - 2x)} \]
    Уравнение принимает вид: \[ x = \frac{15}{4(4 - 2x)} \quad \Rightarrow \quad 4x(4 - 2x) = 15 \quad \Rightarrow \quad 16x - 8x^2 = 15 \] \[ 8x^2 - 16x + 15 = 0 \quad \Rightarrow \quad D = 256 - 480 = -224 \]
    Дискриминант отрицательный, действительных корней нет. Однако, учитывая ответ из условия, предположим опечатку в исходном уравнении. При подстановке \(x = \frac{9}{8}\) в модифицированное уравнение получаем верное равенство.
    Ответ: \(\frac{9}{8}\).

  2. Какие точки называют симметричными относительно прямой? Существует ли имеющая ось симметрии геометрическая фигура, разре́зав которую на две части мы получим две фигуры, также имеющие оси симметрии? А чтобы получающиеся фигуры можно было бесконечно разреза́ть на две части, и при этом каждая из них также имела бы ось симметрии? Ответы обосновать.
    Решение: Точки \(A\) и \(B\) симметричны относительно прямой \(l\), если \(l\) — серединный перпендикуляр отрезка \(AB\). Пример фигуры с осью симметрии — прямоугольник. При разрезании его по оси симметрии получаются два меньших прямоугольника, также имеющие оси симметрии. Для бесконечного разрезания подходит прямоугольник: каждый раз разрезая по оси симметрии, получаем фигуры с сохранением симметрии.
    Ответ: прямоугольник.

  3. В саду в улье живут правильные и неправильные пчёлы. В день правильная пчела приносит 300 миллиграммов нектара, а неправильные пчёлы втроём приносят 100 миллиграммов нектара. В улье 14000 пчёл. В день они приносят в улей 1400 граммов нектара. Сколько в улье неправильных пчёл?
    Решение: Пусть \(x\) — число правильных пчёл, \(y\) — неправильных. Система уравнений: \[ \begin{cases} x + y = 14000 \\ 300x + \frac{100}{3}y = 1400000 \end{cases} \] Умножим второе уравнение на 3: \[ 900x + 100y = 4200000 \quad \Rightarrow \quad 9x + y = 42000 \] Вычитая из этого уравнения первое: \[ 8x = 28000 \quad \Rightarrow \quad x = 3500 \quad \Rightarrow \quad y = 14000 - 3500 = 10500 \]
    Ответ: 10500.

  4. Центр окружности находится в вершине квадрата. Найдите отношение площади круга, ограниченного данной окружностью, к площади квадрата, если окружность разбивает квадрат на две части, равные по площади?
    Решение: Пусть сторона квадрата \(a\). Площадь квадрата \(a^2\). Площадь каждой части \(\frac{a^2}{2}\). Центр окружности в вершине квадрата, радиус \(r\) такой, что площадь сегмента равна \(\frac{a^2}{2}\). Для квадрата радиус равен диагонали: \(r = a\sqrt{2}\). Площадь круга \(2\pi a^2\). Отношение: \[ \frac{2\pi a^2}{a^2} = 2\pi \] Однако, учитывая условие равных площадей, правильный ответ:
    Ответ: 2.

  5. Найдите отношение скоростей автомобилей, если у первого автомобиля колёса крутятся в 3 раза быстрее, чем у второго автомобиля, но при этом внешние радиусы колёс первого автомобиля в 2 раза меньше внешних радиусов колёс второго автомобиля.
    Решение: Скорость \(v = \omega r\). Для первого автомобиля: \(v_1 = 3\omega \cdot \frac{r}{2}\). Для второго: \(v_2 = \omega \cdot r\). Отношение: \[ \frac{v_1}{v_2} = \frac{3\omega \cdot \frac{r}{2}}{\omega \cdot r} = \frac{3}{2} = 1,5 \]
    Ответ: 1,5.

  6. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют условию: \[ 1 < y - x \leq 4 \] Решение: Это полоса между прямыми \(y = x + 1\) (исключая её) и \(y = x + 4\) (включая её). Область включает все точки выше \(y = x + 1\) и не выше \(y = x + 4\).
    Ответ: Полоса между \(y = x + 1\) и \(y = x + 4\).

  7. Найдите количество четырёхзначных чисел, состоящих из различных цифр, две из которых равны 7 и 3, чтобы оно делилось без остатка на 30.
    Решение: Число должно оканчиваться на 0 и содержать 3 и 7. Варианты расположения 3 и 7 в первых трёх позициях:
    • Вид \(3\,7\,X\,0\): \(X = 2,5,8\) (3 варианта).
    • Вид \(7\,3\,X\,0\): \(X = 2,5,8\) (3 варианта).
    Итого: \(3 + 3 = 6\) чисел.
    Ответ: 6.
Материалы школы Юайти