8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМШ МИЭМ из 6 в 7 класс 2016 год

Сложность:
Дата экзамена: 2016
Печать
youit.school ©

ФМШ МИЭМ


2016 год


Вариант ФМШ2016-III-07-2



  1. Решите уравнение: $\frac{\frac{x+\frac{x}{2}}{\frac{x}{\frac{3}{3}+x}+\frac{\frac{x}{2}-x}{2 x}}}{\frac{3 x-\frac{x}{3}}{x}}=\frac{\frac{3 x}{4 x} \cdot 2 x}{\frac{3 x}{2 x} \cdot x} \cdot x$
  2. Какие точки называют симметричными относительно некоторой точки? Существует ли центрально-симметричная фигура, разре́зав которую на две части мы получим две фигуры, также имеющих центры симметрии? А чтобы получающиеся фигуры можно было бесконечно разреза́ть на две части, и при этом каждая из них также имела бы центр симметрии? Ответы обосновать.
  3. В саду в улье живут правильные и неправильные пчёлы. В день правильная пчела приносит 400 миллиграммов нектара, а неправильные пчёлы вчетвером приносят 100 миллиграммов нектара. В улье 15000 пчёл. В день они приносят в улей 1500 граммов нектара. Сколько в улье неправильных пчёл? (Aвmop задачи: Роман Белинский, 8 класс, Москва)
  4. Центр окружности находится в вершине квадрата. Чему равно отношение площадей частей квадрата, на которые он разбивается этой окружностью, если площадь круга, ограниченного данной окружностью, в 2 раза больше площади квадрата?
  5. Найдите отношение скоростей автомобилей, если у первого автомобиля колёса крутятся в 2 раза быстрее, чем у второго автомобиля, но при этом внешние радиусы колёс первого автомобиля в 3 раза меньше внешних радиусов колёс второго автомобиля.
  6. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют условию: $$ 2 \leq y-x<3 $$
  7. Найдите количество четырёхзначных чисел, состоящих из различных цифр, две из которых равны 4 и 3, чтобы оно делилось без остатка на $45 .$
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решите уравнение: $\frac{\frac{x+\frac{x}{2}}{\frac{x}{\frac{3}{3}+x}+\frac{\frac{x}{2}-x}{2 x}}}{\frac{3 x-\frac{x}{3}}{x}}=\frac{\frac{3 x}{4 x} \cdot 2 x}{\frac{3 x}{2 x} \cdot x} \cdot x$
    Решение: Упростим левую часть:
    Числитель верхней дроби: $x + \frac{x}{2} = \frac{3x}{2}$
    Знаменатель верхней дроби: $\frac{x}{1 + x} + \frac{-\frac{x}{2}}{2x} = \frac{x}{x + 1} - \frac{1}{4}$
    Верхняя дробь: $\frac{\frac{3x}{2}}{\frac{x}{x + 1} - \frac{1}{4}} = \frac{\frac{3x}{2}}{\frac{4x - (x + 1)}{4(x + 1)}} = \frac{3x}{2} \cdot \frac{4(x + 1)}{3x - 1}$
    Знаменатель левой части: $\frac{8x}{3} : x = \frac{8}{3}$
    Левая часть: $\frac{3x \cdot 4(x + 1)}{2(3x - 1)} : \frac{8}{3} = \frac{12x(x + 1)}{2(3x - 1)} \cdot \frac{3}{8} = \frac{9x(x + 1)}{4(3x - 1)}$
    Правая часть: $\frac{\frac{3x}{4x} \cdot 2x}{\frac{3x}{2x} \cdot x} \cdot x = \frac{\frac{3}{2}x}{\frac{3}{2}x} \cdot x = x$
    Уравнение: $\frac{9x(x + 1)}{4(3x - 1)} = x$
    $9x(x + 1) = 4x(3x - 1)$
    $9x^2 + 9x = 12x^2 - 4x$
    $-3x^2 + 13x = 0$
    $x(13 - 3x) = 0$
    Корни: $x = 0$ (не подходит, т.к. обращает знаменатель в ноль) и $x = \frac{13}{3}$
    Проверка: При $x = \frac{13}{3}$ все знаменатели отличны от нуля.
    Ответ: $\frac{13}{3}$.

  2. Какие точки называют симметричными относительно некоторой точки? Существует ли центрально-симметричная фигура, разре́зав которую на две части мы получим две фигуры, также имеющих центры симметрии? А чтобы получающиеся фигуры можно было бесконечно разреза́ть на две части, и при этом каждая из них также имела бы центр симметрии? Ответы обосновать.
    Решение:
    1. Точки $A$ и $A'$ называются симметричными относительно точки $O$, если $O$ — середина отрезка $AA'$.
    2. Да, существует. Пример: окружность. При разрезании её диаметром получаются два полукруга, каждый из которых имеет центр симметрии в середине дуги.
    3. Да. Пример: бесконечная прямая. Любой отрезок прямой имеет центр симметрии в своей середине. При бесконечном разрезании на части каждая часть будет отрезком с центром симметрии.
    Ответ: Да, например окружность и прямая.

  3. В саду в улье живут правильные и неправильные пчёлы. В день правильная пчела приносит 400 миллиграммов нектара, а неправильные пчёлы вчетвером приносят 100 миллиграммов нектара. В улье 15000 пчёл. В день они приносят в улей 1500 граммов нектара. Сколько в улье неправильных пчёл?
    Решение: Пусть правильных пчёл — $P$, неправильных — $N$.
    $P + N = 15000$
    Нектар: $400P + \frac{100}{4}N = 1500 \cdot 1000$ мг
    $400P + 25N = 1500000$
    Подставляем $P = 15000 - N$:
    $400(15000 - N) + 25N = 1500000$
    $6000000 - 400N + 25N = 1500000$
    $-375N = -4500000$
    $N = 12000$
    Ответ: 12000.

  4. Центр окружности находится в вершине квадрата. Чему равно отношение площадей частей квадрата, на которые он разбивается этой окружностью, если площадь круга, ограниченного данной окружностью, в 2 раза больше площади квадрата?
    Решение: Пусть сторона квадрата $a$, тогда площадь квадрата $a^2$. Площадь круга $2a^2$, радиус $R = \sqrt{\frac{2a^2}{\pi}} = a\sqrt{\frac{2}{\pi}}$.
    Центр окружности в вершине квадрата. Часть квадрата внутри круга — сектор площадью $\frac{1}{4}\pi R^2 = \frac{1}{4}\pi \cdot \frac{2a^2}{\pi} = \frac{a^2}{2}$.
    Отношение площадей: $\frac{\frac{a^2}{2}}{a^2 - \frac{a^2}{2}} = 1$.
    Ответ: 1:1.

  5. Найдите отношение скоростей автомобилей, если у первого автомобиля колёса крутятся в 2 раза быстрее, чем у второго автомобиля, но при этом внешние радиусы колёс первого автомобиля в 3 раза меньше внешних радиусов колёс второго автомобиля.
    Решение: Скорость $v = \omega R$, где $\omega$ — угловая скорость, $R$ — радиус.
    $v_1 = 2\omega_2 \cdot \frac{R_2}{3}$, $v_2 = \omega_2 R_2$
    $\frac{v_1}{v_2} = \frac{2\omega_2 \cdot \frac{R_2}{3}}{\omega_2 R_2} = \frac{2}{3}$
    Ответ: 2:3.

  6. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют условию: $$ 2 \leq y-x $$ $$ Решение: Неравенство задаёт полосу между прямыми $y = x + 2$ и $y = x + 3$. Нижняя граница включается (сплошная линия), верхняя — не включается (пунктирная). \\ Ответ: Полоса между $y = x + 2$ и $y = x + 3$, включая нижнюю границу.

  7. Найдите количество четырёхзначных чисел, состоящих из различных цифр, две из которых равны 4 и 3, чтобы оно делилось без остатка на $45 .$ \\ Решение: Число делится на 45, если делится на 9 и на 5. Оканчивается на 0 или 5.
    1. Окончание на 0: Цифры 3,4,0 и ещё одна. Сумма: $3 + 4 + 0 + d = 7 + d$ должна делиться на 9 $\Rightarrow d = 2$. Числа: перестановки 3,4,2,0 (6 вариантов, исключая начинающиеся с 0).
    2. Окончание на 5: Цифры 3,4,5 и ещё одна. Сумма: $3 + 4 + 5 + d = 12 + d$ должна делиться на 9 $\Rightarrow d = 6$. Числа: перестановки 3,4,5,6 (6 вариантов).
    Всего: $6 + 6 = 12$ чисел.
    Ответ: 12.
Материалы школы Юайти