ФМШ МИЭМ из 6 в 7 класс 2016 год

ФМШ МИЭМ

2016 год

Вариант ФМШ2016-II-07-1

1. Решите уравнение: $\frac{1-\frac{2-\frac{x}{3}}{4}}{3} \cdot 2=1+2 \cdot \frac{\frac{\frac{x}{3}-4}{3}-1}{2}$
2. Витя задумал два числа. Их сумма равна 77, а НОК равно $196 .$ Какие это числа? (Автор задачи: Кристина Садовски, 7 класс, пос. Дубово́е, Белгородская обл.)
3. Что называют масштабом карты? Если масштаб карты $a: b$, то, как правило, какое из чисел больше и почему? Когда могут потребоваться карты, где большим является другое число?
4. Два луча, исходящих из точки $A$, пересекаются с некоторой прямой в точках $B$ и $C .$ На этой же прямой отмечена точка $E$ такая, что сумма углов $A C E$ и $E B A$ равна величине развёрнутого угла. Может ли $A E$ быть равно $A B ?$ Ответ обоснуйте.
5. Два ёжика запасали на зиму яблоки. Один ёжик собрал $70 \%$ от одной трети количества яблок, собранных другим ёжиком, при этом все яблоки поместились в 7 ящиков, каждый из которых вмещает одинаковое количество яблок, при этом свободных мест в ящиках не осталось. Сколько яблок собрали ёжики вместе, если известно, что всего яблок не больше $500 ?$
6. Пусть $2<a \leq 7 ;-1 \leq b<5$. Между какими числами будут находиться: (а) сумма $a+b ;$ (б) произведение $a \cdot b$ ? Ответы обоснуйте.
7. Если $12=7,24=4,37=0,45=1$, то чему равно 53?

Решения задач

1. Решите уравнение: $\frac{1-\frac{2-\frac{x}{3}}{4}}{3} \cdot 2=1+2 \cdot \frac{\frac{\frac{x}{3}-4}{3}-1}{2}$
   Решение:
   Упростим левую часть:
   $\frac{1 - \frac{2 - \frac{x}{3}}{4}}{3} \cdot 2 = \frac{1 - \frac{6 - x}{12}}{3} \cdot 2 = \frac{\frac{12 - 6 + x}{12}}{3} \cdot 2 = \frac{x + 6}{36} \cdot 2 = \frac{x + 6}{18}$
   Упростим правую часть:
   $1 + 2 \cdot \frac{\frac{\frac{x}{3} - 4}{3} - 1}{2} = 1 + \frac{\frac{x - 12}{9} - 1}{1} = 1 + \frac{x - 12 - 9}{9} = 1 + \frac{x - 21}{9} = \frac{9 + x - 21}{9} = \frac{x - 12}{9}$
   Приравняем обе части:
   $\frac{x + 6}{18} = \frac{x - 12}{9}$
   Умножим обе части на 18:
   $x + 6 = 2(x - 12)$
   $x + 6 = 2x - 24$
   $-x = -30$
   $x = 30$
   Ответ: 30.
   
   
2. Витя задумал два числа. Их сумма равна 77, а НОК равно 196. Какие это числа?
   Решение:
   Пусть числа $a$ и $b$, где $a + b = 77$ и $\text{НОК}(a, b) = 196$. Поскольку $\text{НОК}(a, b) = \frac{a \cdot b}{\text{НОД}(a, b)}$, обозначим $d = \text{НОД}(a, b)$, тогда $a = d \cdot m$, $b = d \cdot n$, где $\text{НОД}(m, n) = 1$. Тогда:
   $d(m + n) = 77$ и $\text{НОК}(a, b) = d \cdot m \cdot n = 196$
   Разложим 77 на множители: $77 = 7 \cdot 11$. Возможные значения $d$: 7, 11. Проверим $d = 7$:
   $m + n = 11$, $m \cdot n = 196 / 7 = 28$
   Решим систему:
   $\begin{cases} m + n = 11 \\ m \cdot n = 28 \end{cases}$
   Корни уравнения $t^2 - 11t + 28 = 0$: $t_1 = 7$, $t_2 = 4$. Тогда числа: $7 \cdot 7 = 49$ и $7 \cdot 4 = 28$. Проверка: $49 + 28 = 77$, $\text{НОК}(49, 28) = 196$.
   Ответ: 28 и 49.
   
   
3. Что называют масштабом карты? Если масштаб карты $a: b$, то, как правило, какое из чисел больше и почему? Когда могут потребоваться карты, где большим является другое число?
   Решение:
   Масштаб карты — отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности. При масштабе $a:b$ обычно $a b$ используются для увеличения мелких объектов (например, микросхемы, часовые механизмы).
   
   
4. Два луча, исходящих из точки $A$, пересекаются с некоторой прямой в точках $B$ и $C$. На этой же прямой отмечена точка $E$ такая, что сумма углов $ACE$ и $EBA$ равна величине развёрнутого угла. Может ли $AE$ быть равно $AB$?
   Решение:
   Рассмотрим треугольник $ABE$. Если $AE = AB$, то $\angle ABE = \angle AEB$. По условию $\angle ACE + \angle EBA = 180^\circ$. При $AE = AB$ возможна конфигурация, где точка $E$ лежит на продолжении $BC$ за точку $C$, обеспечивая выполнение условия.
   Ответ: Да.
   
   
5. Два ёжика запасали на зиму яблоки. Один ёжик собрал $70\%$ от одной трети количества яблок, собранных другим ёжиком, при этом все яблоки поместились в 7 ящиков, каждый из которых вмещает одинаковое количество яблок, при этом свободных мест в ящиках не осталось. Сколько яблок собрали ёжики вместе, если известно, что всего яблок не больше $500$?
   Решение:
   Пусть второй ёжик собрал $x$ яблок. Тогда первый собрал $0.7 \cdot \frac{x}{3} = \frac{7x}{30}$. Общее количество: $x + \frac{7x}{30} = \frac{37x}{30}$. Это число должно делиться на 7: $\frac{37x}{30} = 7k$, где $k$ — целое. Тогда $37x = 210k$. Наименьшее $x = 210$ при $k = 37$. Проверим:$\frac{37 \cdot 210}{30} = 259$ яблок, что меньше 500.
   Ответ: 259.
   
   
6. Пусть $2 < a \leq 7$; $-1 \leq b < 5$. Между какими числами будут находиться: (а) сумма $a + b$; (б) произведение $a \cdot b$?
   Решение:
   (а) Минимальная сумма: $2 + (-1) = 1$, максимальная: $7 + 5 = 12$. Так как границы не включаются: $1 < a + b < 12$.
   (б) Минимальное произведение: $2 \cdot (-1) = -2$, максимальное: $7 \cdot 5 = 35$. С учетом границ: $-2 < a \cdot b < 35$.
   Ответ: (а) $1 < a + b < 12$; (б) $-2 < a \cdot b < 35$.
   
   
7. Если $12=7$, $24=4$, $37=0$, $45=1$, то чему равно 53?
   Решение:
   Закономерность: количество замкнутых областей в цифрах числа. Например:
   - 12: 1 (0 областей) + 2 (0) = 0 → не совпадает. Альтернативно: сумма внутренних углов в написании цифр (1 — 0 углов, 2 — 3 угла → 0 + 3 = 3). Не подходит. Верный подход: количество кружков в цифрах (0 — 1, 6 — 1, 8 — 2, 9 — 1). Тогда:
   - 12: 0 + 0 = 0 → не совпадает. Возможно, другая логика: разность цифр. Для 53: 5 - 3 = 2. По аналогии с 45=1 (5 - 4 = 1).
   Ответ: 2.