8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМШ МИЭМ из 6 в 7 класс 2016 год

Сложность:
Дата экзамена: 2016
Печать
youit.school ©

ФМШ МИЭМ


2016 год


Вариант 1



  1. Выполните действия и найдите, сколько процентов знаменатель составляет от числителя $\frac{5 \frac{5}{7}: \frac{8}{21}+1 \frac{8}{13} \cdot\left(\frac{43}{56}-\frac{11}{24}\right)}{3,1 \cdot\left(1 \frac{1}{71}+2 \frac{1}{32}\right)^{0}}$
  2. Постройте график прямой пропорциональности, если известно, что он параллелен прямой $y=\frac{2}{7} x+\frac{3}{4}$.
  3. Если увеличить ширину прямоугольника на $10 \%$, а $20 \%$, то его периметр увеличится на 16 см. Если же уменьшить ширину на $20 \%$, а длину на $10 \%$, то его периметр уменьшится на $14 \%$. Найдите периметр прямоугольника.
  4. Выполните действия $\frac{2^{19} \cdot 27^{3}+15 \cdot 4^{9} \cdot 9^{4}}{6^{9} \cdot 2^{10}+12^{10}}$
  5. Разложите на множители $a^{4}-6 a^{3}+54 a-81$
  6. Существует ли такое значение а, при котором уравнение $\frac{a(2-x)}{12}-\frac{2 x-3}{8}=\frac{3}{8}$
    1. имеет бесконечное множество корней;
    2. не имеет корней.
  7. Товарный поезд имеет длину 1 км и движется со скоростью 50 км/ч. За какое время он пройдет туннель длиной 1 км?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Выполните действия и найдите, сколько процентов знаменатель составляет от числителя: $\frac{5 \frac{5}{7}: \frac{8}{21}+1 \frac{8}{13} \cdot\left(\frac{43}{56}-\frac{11}{24}\right)}{3,1 \cdot\left(1 \frac{1}{71}+2 \frac{1}{32}\right)^{0}}$
    Решение: Числитель:
    • $5\frac{5}{7} = \frac{40}{7}$, делим на $\frac{8}{21}$: $\frac{40}{7} \cdot \frac{21}{8} = 15$
    • $\frac{43}{56} - \frac{11}{24} = \frac{129 - 77}{168} = \frac{52}{168} = \frac{13}{42}$
    • $1\frac{8}{13} = \frac{21}{13}$, умножаем на $\frac{13}{42}$: $\frac{21}{13} \cdot \frac{13}{42} = \frac{1}{2}$
    Сумма числителя: $15 + \frac{1}{2} = 15,5$
    Знаменатель: $\left(...\right)^0 = 1$, поэтому $3,1 \cdot 1 = 3,1$
    Дробь: $\frac{15,5}{3,1} = 5$
    Найдем, сколько процентов 3,1 составляет от 15,5: $\frac{3,1}{15,5} \cdot 100% = 20\%$
    Ответ: 20\%.

  2. Постройте график прямой пропорциональности, параллельный прямой $y=\frac{2}{7} x+\frac{3}{4}$
    Решение: Прямая пропорциональность имеет вид $y = kx$. Для параллельности нужно совпадение коэффициентов: $k = \frac{2}{7}$.
    График: $y = \frac{2}{7}x$, проходит через начало координат.
    Ответ: $y = \frac{2}{7}x$.

  3. Периметр прямоугольника:
    Решение: Пусть исходные длина — $y$, ширина — $x$.
    • После изменений: $1,1x$ и $1,2y$. Периметр: $2(1,1x + 1,2y) = 2,2x + 2,4y = P + 16$
    • После уменьшения: $0,8x$ и $0,9y$. Периметр: $2(0,8x + 0,9y) = 1,6x + 1,8y = 0,86P$
    Исходный периметр: $P = 2x + 2y$
    Составляем систему: \begin{align*} 2,2x + 2,4y &= 2x + 2y + 16 \\ 1,6x + 1,8y &= 0,86(2x + 2y) \end{align*} Решение системы дает $x = 20$, $y = 30$, периметр $P = 100$ см.
    Ответ: 100 см.

  4. Упростите выражение: $\frac{2^{19} \cdot 27^{3} + 15 \cdot 4^{9} \cdot 9^{4}}{6^{9} \cdot 2^{10} + 12^{10}}$
    Решение: Представим числа в виде степеней:
    • $27^3 = 3^9$, $4^9 = 2^{18}$, $9^4 = 3^8$, $6^9 = 2^9 \cdot 3^9$, $12^{10} = 2^{20} \cdot 3^{10}$
    • Числитель: $2^{19} \cdot 3^9 + 15 \cdot 2^{18} \cdot 3^8 = 2^{18} \cdot 3^8(2 \cdot 3 + 15) = 2^{18} \cdot 3^8 \cdot 21$
    • Знаменатель: $2^{9} \cdot 3^9 \cdot 2^{10} + 2^{20} \cdot 3^{10} = 2^{19} \cdot 3^9(1 + 3) = 2^{19} \cdot 3^9 \cdot 4$
    Сокращаем: $\frac{2^{18} \cdot 3^8 \cdot 21}{2^{19} \cdot 3^9 \cdot 4} = \frac{21}{2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{7}{8}$
    Ответ: $\frac{7}{8}$.

  5. Разложите на множители: $a^4 - 6a^3 + 54a - 81$
    Решение: Группируем: $(a^4 - 6a^3) + (54a - 81) = a^3(a - 6) + 27(2a - 3)$ Подбором находим корень $a=3$: $(3)^4 - 6(3)^3 + 54(3) - 81 = 0$ Делим на $(a - 3)$: Получаем $(a - 3)(a^3 - 3a^2 - 9a + 27) = (a - 3)^2(a^2 + 3a - 9)$
    Ответ: $(a - 3)^2(a^2 + 3a - 9)$.

  6. Уравнение $\frac{a(2-x)}{12} - \frac{2x-3}{8} = \frac{3}{8}$
    Решение: Умножим все члены на 24: $2a(2-x) - 3(2x-3) = 9$ Раскроем скобки: $4a - 2ax - 6x + 9 = 9$ Упростим: $( -2a -6 )x +4a = 0$
    а) Бесконечное множество решений при: $-2a -6 = 0$ и $4a = 0$ → противоречие. Нет решений.
    б) Нет корней при $-2a -6 = 0$ → $a = -3$. При этом $4(-3) ≠ 0$ - верно.
    Ответ: а) Нет; б) $a = -3$.

  7. Время прохождения туннеля:
    Решение: Полный путь: $1$ км (поезд) + $1$ км (туннель) = $2$ км Время: $\frac{2}{50} = 0,04$ часа = $2,4$ минуты = $2$ мин $24$ сек.
    Ответ: 2,4 минуты.
Материалы школы Юайти