ФМШ МИЭМ из 6 в 7 класс 2015 год

ФМШ МИЭМ

2015 год

Вариант ФМШ 2015-III-07-2

1. Решите уравнение: \[ -\bigl(-\bigl(-(5 - 4x) - 3x\bigr) - 2x\bigr) \;=\; -x + \bigl(-2x + (-3x + 4)\bigr). \]
2. Пять двоечников получают пять двоек за пять дней. Сколько двоек получат десять двоечников за десять дней?
3. 1. Постройте график функции: \[ y = \frac{8 - x}{4}. \]
   2. Какой формулой будет выражена функция, каждая точка графика которой на 3 единицы ниже графика функции, приведённой в предыдущем пункте?
4. 1. Что такое точка?
   2. На плоскости нарисовали 7 точек. Какое минимальное количество прямых необходимо провести, чтобы все нарисованные точки оказались в отдельных частях плоскости, на которые она разбита проведёнными прямыми? Зависит ли данное количество от того, как нарисованы точки? Ответы обоснуйте.
5. На двух ветках сидели 18 птиц. Когда с первой ветки на вторую перелетело в 2 раза больше птиц, чем до этого сидело на второй ветке, то птиц на ветках стало поровну. Сколько птиц первоначально сидело на каждой ветке?
6. Какой угол образуют часовая и минутная стрелки часов в два часа пятнадцать минут?
7. Отгадайте загадку из сборника Владимира Ивановича Даля: «Четыре четверки, две растопырки, один вертун, да два ёжонка».

Решения задач

1. Решите уравнение: \[ -\bigl(-\bigl(-(5 - 4x) - 3x\bigr) - 2x\bigr) = -x + \bigl(-2x + (-3x + 4)\bigr). \]
   Решение:
   Поэтапно раскроем скобки:
   Левая часть: $-(-(-(5-4x)-3x)-2x)$
   1. Внутренний слой: $-(5-4x) = -5 + 4x$
   2. Затем: $-(( -5 + 4x ) - 3x) = -(-5 + x) = 5 - x$
   3. Добавляем $-2x$: $-((5 - x) -2x) = -(5 -3x) = -5 + 3x$
   Правая часть: $-x + (-2x + (-3x +4))$
   Выполним вычисления внутри скобок:
   $(-2x -3x +4) = -5x +4$
   Таким образом: $-x -5x +4 = -6x +4$
   Получаем уравнение: $5 -3x = -6x +4$
   Переносим переменные влево, числа вправо:
   $3x = -1$
   $x = -\frac{1}{3}$
   
   Ответ: $-\frac{1}{3}$.
   
   
2. Пять двоечников получают пять двоек за пять дней. Сколько двоек получат десять двоечников за десять дней?
   Решение: 5 двоечников за 5 дней → 1 двоечник за день делает $\frac{5}{5 \cdot 5} = \frac{1}{5}$ двойки.
   10 двоечников за 10 дней → $\frac{1}{5} \cdot 10 \cdot 10 = 20$ двоек.
   Ответ: 20.
   
   
3. 
   
   
   1. Постройте график функции: \[ y = \frac{8 - x}{4}. \]
      Решение: Уравнение можно преобразовать: $y = -\frac{1}{4}x + 2$
      Это прямая, пересекающая ось Y в точке $(0; 2)$ и имеющая угловой коэффициент $-\frac{1}{4}$ (на 4 единицы вправо опускается на 1 единицу).
      Ответ: график прямой с координатами $(0;2)$ и $(4;1)$.
      
      
   2. Какой формулой будет выражена функция, каждая точка графика которой на 3 единицы ниже графика функции, приведённой в предыдущем пункте?
      Решение: Чтобы опустить график на 3 единицы, нужно вычесть 3 из исходной функции:
      $y = -\frac{1}{4}x + 2 - 3 = -\frac{1}{4}x -1$
      Ответ: $y = -\frac{1}{4}x -1$.
   
   
   
4. 
   
   
   1. Что такое точка?
      Ответ: Геометрический объект, не имеющий размеров, характеризующийся только положением.
      
      
   2. На плоскости нарисовали 7 точек. Какое минимальное количество прямых необходимо провести, чтобы все нарисованные точки оказались в отдельных частях плоскости, на которые она разбита проведёнными прямыми? Зависит ли данное количество от того, как нарисованы точки? Ответы обоснуйте.
      Ответ: Если точки в общем положении (никакие три не лежат на одной прямой), минимальное количество прямых — 3. Три пересекающиеся прямые могут разделить плоскость на 7 областей. Если точки расположены на одной прямой, потребуется больше прямых. Зависит от расположения точек.
   
   
   
5. На двух ветках сидели 18 птиц. Когда с первой ветки на вторую перелетело в 2 раза больше птиц, чем до этого сидело на второй ветке, то птиц на ветках стало поровну. Сколько птиц первоначально сидело на каждой ветке?
   Решение: Пусть на первой ветке было $x$ птиц, на второй — $y$.
   Исходно: $x + y = 18$.
   После перелёта:
   Первая ветка: $x - 2y$,
   Вторая ветка: $y + 2y = 3y$.
   По условию равных чисел птиц:
   $x - 2y = 3y$
   $x = 5y$
   Подставляем в первое уравнение:
   $5y + y = 18 \Rightarrow y = 3$, $x = 15$
   Ответ: 15 и 3.
   
   
6. Какой угол образуют часовая и минутная стрелки часов в два часа пятнадцать минут?
   Решение: Положение часовой стрелки: за каждый час — 30°, за 15 минут $\frac{30°}{60} \cdot 15 = 7.5°$. Общее положение: $2 \cdot 30° + 7.5° = 67.5°$.
   Положение минутной стрелки: $15 \cdot 6° = 90°$
   Разница: $|90° - 67.5°| = 22.5°$
   Ответ: $22.5^{\circ}$.
   
   
7. Отгадайте загадку из сборника Владимира Ивановича Даля: «Четыре четверки, две растопырки, один вертун, да два ёжонка».
   Ответ: Корова: четыре ноги (четки), два рога (растопырки), хвост (вертун), два уха (ёжонка).