ФМШ МИЭМ из 6 в 7 класс 2015 год

ФМШ МИЭМ

2015 год

Вариант ФМШ 2015-III-07-1

1. Решите уравнение: \[ -\bigl(-\bigl(-(1 + 2x) + 3x\bigr) + 4x\bigr) \;=\; 5x - \bigl(4x - (3x - 2)\bigr). \]
2. Десять панд съедают десять бамбуков за десять дней. Сколько бамбуков съедят двадцать панд за двадцать дней?
3. 1. Постройте график функции: \[ y = \frac{6 - x}{3}. \]
   2. Какой формулой будет выражена функция, каждая точка графика которой находится на 2 единицы выше графика функции, заданной в предыдущем пункте?
4. 1. Что такое прямая?
   2. На сколько частей могут разбить плоскость четыре прямые? Могут ли четыре прямые разбить плоскость на максимальное число частей, если две из этих четырёх прямых будут:
      1. параллельными;
      2. перпендикулярными?
      Ответы обоснуйте.
5. В двух аквариумах плавали 24 рыбы. Когда из первого аквариума во второй перенесли третью часть от количества рыб, которое было во втором аквариуме, то рыб в обоих аквариумах стало поровну. Сколько рыб первоначально плавало в каждом аквариуме?
6. Какой угол образуют часовая и минутная стрелки часов в половину восьмого?
7. Отгадайте загадку из сборника Владимира Ивановича Даля*: «Четыре четверки, две растопырки, седьмой вертун, а сам ворчун».

Решения задач

1. Решите уравнение: \[ -\bigl(-\bigl(-(1 + 2x) + 3x\bigr) + 4x\bigr) = 5x - \bigl(4x - (3x - 2)\bigr). \] Решение: Раскроем скобки последовательно слева и справа: Левая часть: \[ -\bigl(-\bigl(-1 - 2x + 3x\bigr) + 4x\bigr) = -\bigl(-\bigl(x - 1\bigr) + 4x\bigr) = -\bigl(-x + 1 + 4x\bigr) = -\bigl(3x + 1\bigr) = -3x - 1 \] Правая часть: \[ 5x - \bigl(4x - (3x - 2)\bigr) = 5x - \bigl(4x - 3x + 2\bigr) = 5x - \bigl(x + 2\bigr) = 5x - x - 2 = 4x - 2 \] Получаем уравнение: \[ -3x - 1 = 4x - 2 \quad \Big| +3x+2 \] \[ -1 + 2 = 7x \] \[ 1 = 7x \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{7} \] Ответ: \(\frac{1}{7}\).
   
   
2. Десять панд съедают десять бамбуков за десять дней. Сколько бамбуков съедят двадцать панд за двадцать дней?
   Решение: За 1 день 10 панд съедят \( \frac{10}{10} = 1 \) бамбук, значит 1 панда съедает \( \frac{1}{10} \) бамбука в день.
   20 панд за 1 день съедят \( 20 \cdot \frac{1}{10} = 2 \) бамбука.
   За 20 дней они съедят \( 2 \cdot 20 = 40 \) бамбуков.
   Ответ: 40.
   
   
3. 1. Постройте график функции: \[ y = \frac{6 - x}{3} = 2 - \frac{x}{3}. \] Решение: График линейной функции с угловым коэффициентом \( -\frac{1}{3} \), пересекает ось \( y \) в точке \( (0, 2) \), ось \( x \) при \( x = 6 \). Для построения достаточно двух точек: \( (0, 2) \) и \( (6, 0) \). Ответ: прямая через точки \( (0, 2) \) и \( (6, 0) \).
   2. Формула функции с графиком, смещённым на 2 единицы вверх: \[ y = 2 - \frac{x}{3} + 2 = 4 - \frac{x}{3}. \] Ответ: \( y = \frac{12 - x}{3} \).
   
   
   
4. 1. Определение прямой: Ответ: Прямая — это бесконечная одномерная геометрическая фигура, не имеющая начала и конца.
   2. Максимальное число частей плоскости четырьмя прямыми: Формула для максимального числа областей: \( \frac{n(n + 1)}{2} + 1 \). Для \( n = 4 \): \( \frac{4 \cdot 5}{2} + 1 = 11 \).
      1. С двумя параллельными: Если две прямые параллельны, третья пересекает их — добавляет 3 области, четвертая (параллельная второй) — добавляет 2 области. Итого: 2 + 3 + 4 = 9 областей. Максимум недостижим.
      2. С двумя перпендикулярными: Все прямые пересекаются попарно без совпадений и параллельности — создают 11 областей. Ответ: да, могут.
      Ответ:
      • a) Нет.
      • b) Да.
   
   
   
5. В двух аквариумах плавали 24 рыбы. Первоначально рыб в аквариумах:
   Решение: Пусть в первом аквариуме \( x \) рыб, тогда во втором \( 24 - x \). После переноса трети от второго числа:
   Первый станет: \( x + \frac{24 - x}{3} = \frac{3x + 24 - x}{3} = \frac{2x + 24}{3} \)
   Второй станет: \( (24 - x) - \frac{24 - x}{3} = \frac{2(24 - x)}{3} \)
   По условию: \[ \frac{2x + 24}{3} = \frac{2(24 - x)}{3} \] \[ 2x + 24 = 48 - 2x \] \[ 4x = 24 \quad \Rightarrow \quad x = 6 \] Ответ: 6 и 18 рыб.
   
   
6. Угол между стрелками в половину восьмого:
   В 7:30 часовая стрелка посередине между 7 и 8 (каждое деление — 30°): \( 7 \cdot 30° + 15° = 225° \). Минутная стрелка на 6: \( 6 \cdot 30° = 180° \). Разность углов: \( 225° - 180° = 45° \). Ответ: \(45^\circ\).
   
   
7. Отгадка загадки: Четыре ноги (четыре четверки), две руки (растопырки), голова (вертун), а сам ворчун — старик с палкой. Ответ: человек (или старик).