ФМШ МИЭМ из 6 в 7 класс 2015 год

ФМШ МИЭМ

2015 год

Вариант ФМШ2015-II-07-2

1. Решить уравнение: $2+\frac{3+\frac{2+\frac{1}{3}}{2}}{3} \cdot x=\frac{\frac{\frac{1}{2}-3}{3}-2}{2}-3$
2. Пачку творога массой 180 грамм разделили на 3 части. Первая часть составляла $\frac{3}{8}$ всего творога, вторая - в 3 раза меньше, чем первая и третья часть вместе. Какую часть от всего творога составляла вторая часть и какую третья? Все ли данные, приведённые в задаче, необходимы, чтобы ответить на предыдущий вопрос?
3. На координатной плоскости заданы точки: $A(-2,2), B(2,4)$ и $C(-1,5)$. Существует ли на координатной плоскости такая точка $D$, чтобы фигура $A B C D$ оказалась прямоугольником? В каких случаях при заданных на координатной плоскости трёх точках $A$, $B, C$ такая точка $D$ существует?
4. Какие прямые называются перпендикулярными? Верно ли, что если каждая из двух прямых перпендикулярна третьей, то эти две прямые также перпендикулярны? Если, нет, то как они могут располагаться друг относительно друга? Ответ обосновать.
5. Прямоугольник с диагональю 6 см поместили внутрь окружности, а эту окружность поместили в другой прямоугольник. Укажите минимальное значение периметра прямоугольника, в который поместили окружность.
6. Найти все трёхзначные числа, которые в 70 раз больше суммы своих цифр.
7. Когда кошка в комнате, мышка сидит в норке. Сидя в комнате за столом, Маша увидела, как мышка запрыгнула в норку. «Значит, где-то рядом кошка»,- подумала Маша. Права ли Маша?

Решения задач

1. Решить уравнение: $2+\frac{3+\frac{2+\frac{1}{3}}{2}}{3} \cdot x=\frac{\frac{\frac{1}{2}-3}{3}-2}{2}-3$
   Решение: Упростим левую часть: \[ \frac{3+\frac{2+\frac{1}{3}}{2}}{3} = \frac{3+\frac{\frac{7}{3}}{2}}{3} = \frac{3+\frac{7}{6}}{3} = \frac{\frac{25}{6}}{3} = \frac{25}{18} \] Левый член: \(2 + \frac{25}{18}x\).
   Упростим правую часть: \[ \frac{\frac{\frac{1}{2}-3}{3}-2}{2}-3 = \frac{\frac{-\frac{5}{2}}{3}-2}{2}-3 = \frac{-\frac{5}{6}-2}{2}-3 = \frac{-\frac{17}{6}}{2} -3 = -\frac{17}{12} -3 = -\frac{53}{12} \] Уравнение принимает вид: \[ 2 + \frac{25}{18}x = -\frac{53}{12} \] Выразим \(x\): \[ \frac{25}{18}x = -\frac{53}{12} -2 \quad \Rightarrow \quad \frac{25}{18}x = -\frac{77}{12} \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{77}{12} \cdot \frac{18}{25} = -\frac{231}{50} = -4,62 \] Ответ: \(-4,62\).
2. Пачку творога массой 180 грамм разделили на 3 части. Первая часть составляла \(\frac{3}{8}\) всего творога, вторая — в 3 раза меньше, чем первая и третья часть вместе. Какую часть от всего творога составляла вторая часть и какую третья? Все ли данные, приведённые в задаче, необходимы, чтобы ответить на предыдущий вопрос?
   Решение: Первая часть: \(\frac{3}{8} \times 180 = 67,5\) г. Остаток: \(180 - 67,5 = 112,5\) г.
   Пусть третья часть \(= t\), тогда вторая часть \(= \frac{67,5 + t}{3}\). Уравнение: \[ \frac{67,5 + t}{3} + t = 112,5 \quad \Rightarrow \quad 67,5 + t + 3t = 337,5 \quad \Rightarrow \quad 4t = 270 \quad \Rightarrow \quad t = 67,5 \, \text{г}. \] Вторая часть: \(\frac{67,5 + 67,5}{3} = 45\) г.
   Доля второй части: \(\frac{45}{180} = \frac{1}{4}\); третьей части: \(\frac{67,5}{180} = \frac{3}{8}\).
   Масса 180 г не требуется для определения долей — ответ можно получить в дробях.
   Ответ: Вторая — \(\frac{1}{4}\), третья — \(\frac{3}{8}\). Данные о массе избыточны.
3. На координатной плоскости заданы точки: \(A(-2,2)\), \(B(2,4)\), \(C(-1,5)\). Существует ли точка \(D\), чтобы \(ABCD\) был прямоугольником?
   Решение: Проверим перпендикулярность векторов: \(\overrightarrow{AB} = (4, 2)\), \(\overrightarrow{BC} = (-3, 1)\).
   Точек скалярное произведение: \(4 \cdot (-3) + 2 \cdot 1 = -10 \neq 0\) — углы не прямые.
   Попробуем найти диагонали: Середина \(AC\): \(\left(-\frac{3}{2}, \frac{7}{2}\right)\). При предполагаемом \(D(-5, 3)\) проверяем векторы: \(\overrightarrow{AD} = (-3,1)\), \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = -10 \neq 0\) — не перпендикулярны.
   Ответ: Нет, точка \(D\) не существует.
   Условие существования: если три точки образуют два перпендикулярных вектора, или диагонали равны и делятся пополам.
4. Какие прямые называются перпендикулярными? Верно ли, что если каждая из двух прямых перпендикулярна третьей, то эти две прямые также перпендикулярны?
   Решение: Прямые перпендикулярны, если пересекаются под \(90^\circ\). Если две прямые перпендикулярны третьей в одной плоскости, они параллельны (пример: две вертикальные линии перпендикулярны горизонтальной). В пространстве они могут быть скрещивающимися.
   Ответ: Неверно. В плоскости они параллельны; в пространстве — могут быть параллельны или скрещиваться.
5. Прямоугольник с диагональю 6 см поместили внутрь окружности. Укажите минимальное значение периметра прямоугольника, в который поместили окружность.
   Решение: Диаметр окружности равен диагонали вписанного прямоугольника: \(6 \, \text{см}\). Прямоугольник, содержащий окружность, должен иметь стороны не менее диаметра. Минимальный периметр у квадрата со стороной \(6 \, \text{см}\): \[ P = 4 \times 6 = 24 \, \text{см} \] Ответ: \(24 \, \text{см}\).
6. Найти все трёхзначные числа, которые в 70 раз больше суммы своих цифр.
   Решение: Пусть число \(= 100a + 10b + c\). Уравнение: \(100a + 10b + c = 70(a + b + c)\).
   Упростим: \[ 30a - 60b -69c = 0 \quad \Rightarrow \quad 10a = 20b +23c \] Т.к. \(10a\) делится на 10, справа \(3c\) должно оканчиваться на 0 ⇒ \(c = 0\). Тогда: \(a = 2b\). Возможные значения: \(b=1,2,3,4\); числа: \(210, 420, 630, 840\). Проверка подтверждает.
   Ответ: \(210, 420, 630, 840\).
7. «Сижу в комнате, мышка запрыгнула в норку ⇒ кошка рядом». Права ли Маша?
   Решение: Утверждение: Если кошка в комнате (\(C\)), то мышка в норке (\(M\)). Маша видит \(M\), делаем вывод \(C\). Это логическая ошибка (подтверждение следствия). Мышка могла убежать по другой причине.
   Ответ: Нет, Маша не права.