ФМШ МИЭМ из 6 в 7 класс 2015 год

ФМШ МИЭМ

2015 год

Вариант ФМШ2015-II-07-1

1. Решить уравнение: $2-\frac{3-\frac{2-\frac{1}{3}}{2}}{3} \cdot x=\frac{\frac{\frac{1}{2}+3}{3}+2}{2}+3$
2. Пол-литра молока полностью перелили из кувшина в 3 стакана. В первый стакан вошло $\frac{2}{9}$ всего молока, во второй - в 2 раза больше, чем в первый и третий стаканы вместе. Какую часть молока перелили во второй стакан и какую в третий? Все ли данные, приведённые в задаче, необходимы, чтобы ответить на предыдущий вопрос?
3. На координатной плоскости заданы точки: $A(-1,1), B(1,5)$ и $C(2,2)$. Существует ли на координатной плоскости такая точка $D$, чтобы фигура $A B C D$ оказалась прямоугольником? В каких случаях при заданных на координатной плоскости трёх точках $A, B, C$ такая точка $D$ существует?
4. Какие прямые называются параллельными? Верно ли, что если каждая из двух прямых параллельна третьей, то эти две прямые также параллельны? Если, нет, то как они могут располагаться друг относительно друга? Ответ обосновать.
5. Внутри прямоугольника со сторонами 4 и 6 см нарисовали окружность. После этого на окружности отметили несколько точек и соединили все соседние точки, в результате чего получился многоугольник. Укажите минимальное значение, которое точно не сможет превысить периметр этого многоугольника.
6. Найти все трёхзначные числа, которые в 40 раз больше суммы своих цифр.
7. Петин кот перед дождём всегда чихает. Сегодня кот чихнул. «Значит, скоро будет дождь»,-подумал Петя. Прав ли Петя?

Решения задач

1. Решить уравнение: $2-\frac{3-\frac{2-\frac{1}{3}}{2}}{3} \cdot x=\frac{\frac{\frac{1}{2}+3}{3}+2}{2}+3$
   Решение: Упростим левую и правую части отдельно.
   Левая часть:
   $\frac{2 - \frac{1}{3}}{2} = \frac{\frac{5}{3}}{2} = \frac{5}{6}$
   $\frac{3 - \frac{5}{6}}{3} = \frac{\frac{13}{6}}{3} = \frac{13}{18}$
   Левая часть уравнения: $2 - \frac{13}{18}x$
   Правая часть:
   $\frac{1}{2} + 3 = \frac{7}{2}$; $\frac{\frac{7}{2}}{3} = \frac{7}{6}$
   $\frac{7}{6} + 2 = \frac{19}{6}$; $\frac{\frac{19}{6}}{2} = \frac{19}{12}$
   Правую часть уравнения: $\frac{19}{12} + 3 = \frac{55}{12}$
   Составляем уравнение:
   $2 - \frac{13}{18}x = \frac{55}{12}$
   $\frac{13}{18}x = 2 - \frac{55}{12} = \frac{24}{12} - \frac{55}{12} = -\frac{31}{12}$
   $x = -\frac{31}{12} : \frac{13}{18} = -\frac{31}{12} \cdot \frac{18}{13} = -\frac{93}{26} = -3\frac{15}{26}$
   Ответ: $-3\frac{15}{26}$.
   
   
2. Пол-литра молока полностью перелили из кувшина в 3 стакана. В первый стакан вошло $\frac{2}{9}$ всего молока, во второй — в 2 раза больше, чем в первый и третий стаканы вместе. Какую часть молока перелили во второй стакан и какую в третий? Все ли данные, приведённые в задаче, необходимы, чтобы ответить на предыдущий вопрос?
   Решение: Обозначим объем молока как 1 (часть). Пусть в третий стакан налили $x$ частей. Тогда:
   Первый стакан: $\frac{2}{9}$
   Второй стакан: $2 \cdot \left(\frac{2}{9} + x\right)$
   Уравнение: $\frac{2}{9} + 2\left(\frac{2}{9} + x\right) + x = 1$
   $\frac{2}{9} + \frac{4}{9} + 2x + x = 1$
   $\frac{6}{9} + 3x = 1$
   $3x = \frac{3}{9} \Rightarrow x = \frac{1}{9}$
   Второй стакан: $2 \cdot \left(\frac{2}{9} + \frac{1}{9}\right) = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$
   Указание объема в пол-литра избыточно, так как все расчеты ведутся в долях.
   Ответ: второй стакан — $\frac{2}{3}$, третий — $\frac{1}{9}$; данные о литрах не нужны.
   
   
3. На координатной плоскости заданы точки: $A(-1,1), B(1,5)$ и $C(2,2)$. Существует ли на координатной плоскости такая точка $D$, чтобы фигура $ABCD$ оказалась прямоугольником? В каких случаях при заданных на координатной плоскости трёх точках $A, B, C$ такая точка $D$ существует?
   Решение: Проверим условия прямоугольника. Найдем векторы:
   $\overrightarrow{AB} = (2,4)$; $\overrightarrow{AC} = (3,1)$; $\overrightarrow{BC} = (1,-3)$
   Если $ABCD$ — прямоугольник, то:
   1. $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ и $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$
   2. Скалярные произведения смежных сторон должны быть нулевыми.
   Проверим перпендикулярность $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BC}$:
   $(2)(1) + (4)(-3) = 2 - 12 = -10 \neq 0$ ⇒ Не прямоугольник.
   Или рассмотрим возможные диагонали. Для прямоугольника середины диагоналей совпадают.
   Середина $AC$: $\left(\frac{-1+2}{2}, \frac{1+2}{2}\right) = \left(0.5, 1.5\right)$
   Середина $BD$: $\left(\frac{1+x_D}{2}, \frac{5+y_D}{2}\right)$
   Приравниваем:
   $\frac{1+x_D}{2} = 0.5 \Rightarrow x_D = 0$
   $\frac{5+y_D}{2} = 1.5 \Rightarrow y_D = -2$
   Проверим перпендикулярность сторон $AD$ и $AB$:
   $\overrightarrow{AD} = (0 - (-1), -2 - 1) = (1, -3)$
   Скалярное произведение $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 2 \cdot 1 + 4 \cdot (-3) = 2 - 12 = -10 \neq 0$ ⇒ не прямоугольник.
   Ответ: Точка $D(0,-2)$ существует, но фигура не является прямоугольником. Для существования прямоугольника три точки должны образовывать две пары с перпендикулярными векторами.
   
   
4. Какие прямые называются параллельными? Верно ли, что если каждая из двух прямых параллельна третьей, то эти две прямые также параллельны? Если нет, то как они могут располагаться друг относительно друга? Ответ обосновать.
   Решение: Параллельные прямые — не пересекающиеся и лежащие в одной плоскости. Согласно аксиоме Евклида, если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой. В трехмерном пространстве такие прямые могут быть скрещивающимися, но в евклидовой плоскости всегда параллельны. Таким образом, утверждение верно для планиметрии, но неверно для стереометрии.
   
   
5. Внутри прямоугольника со сторонами 4 и 6 см нарисовали окружность. После этого на окружности отметили несколько точек и соединили все соседние точки, в результату чего получился многоугольник. Укажите минимальное значение, которое точно не сможет превысить периметр этого многоугольника.
   Решение: Максимально возможный периметр многоугольника на окружности не превышает её длину. Максимальный диаметр окружности внутри прямоугольника равен 4 см (меньшая сторона). Длина окружности: $π \cdot 4 = 4π \approx 12,57$ см. Любой вписанный многоугольник имеет периметр меньше длины окружности.
   Ответ: $4π$ см.
   
   
6. Найти все трёхзначные числа, которые в 40 раз больше суммы своих цифр.
   Решение: Пусть число $100a + 10b + c = 40(a + b + c)$. Упростим:
   $100a + 10b + c = 40a + 40b + 40c \Rightarrow 60a - 30b - 39c = 0 \Rightarrow 20a = 10b + 13c$
   Перебор цифр $a \in \{1-9\}, b,c \in \{0-9\}$:
   - $a=1$: $20 = 10b +13c$. Решение: $b=2, c=0$ ⇒ число 120.
   - $a=2$: $40 =10b +13c$. Решение: $b=4, c=0$ ⇒ число 240.
   - $a=3$: $60 =10b +13c$. Решение: $b=6, c=0$ ⇒ число 360.
   - $a=4$: $80 =10b +13c$. Решение: $b=8, c=0$ ⇒ число 480.
   Ответ: 120, 240, 360, 480.
   
   
7. Петин кот перед дождём всегда чихает. Сегодня кот чихнул. «Значит, скоро будет дождь»,-подумал Петя. Прав ли Петя?
   Решение: Условие задает импликацию "дождь → чихание", но не обратную. Чихание кота является необходимым, но не достаточным условием для дождя. Возможны ложные срабатывания.
   Ответ: Нет, Петя не прав. Чихание кота гарантирует дождь, но обратное утверждение неверно.