ФМШ МИЭМ из 6 в 7 класс 2015 год

ФМШ МИЭМ

2015 год

Вариант ФМШ2015-07-2

1. Найдите значение выражения: $\frac{3}{16} \cdot 1 \frac{3}{5}:\left(7 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{10}-\frac{3}{5}\right)-3 \frac{1}{2}: 4 \frac{2}{3}$
2. Учитель проверил работы трёх учеников: Алексея, Бориса и Виктора, но не принёс их с собой. Ученикам он сказал: «Вы все получили разные оценки: 3,4 и $5 .$ У Алексея не 5, у Бориса не 4, а вот у Виктора, по-моему, 4 ». Впоследствии оказалось, что учитель верно высказался об оценке только одного ученика. Какая оценка у каждого ученика?
3. Постройте график функции $y=2+\frac{1}{3} x$. Каково взаимное расположение графика этой функции с графиком функции $y=-3 x+5 ?$ Укажите координаты их точки пересечения (если такая точка есть).
4. Дайте определения наименьшего общего кратного двух чисел. У любых ли двух чисел есть наименьшее общее кратное? Почему обычно рассматривается именно наименьиее общее кратное, а не наибольиее? Ответы обосновать.
5. Два острых угла прямоугольного треугольника относятся как $5: 4 .$ Найдите меньший острый угол.
6. Купили несколько порций мороженого по 35 рублей и пирожные по 27 рублей на общую сумму 480 рублей. Определите, сколько порций мороженого и сколько пирожных купили.
7. Догадайтесь, из какого крылатого выражения можно получить следующую фразу, если заменить в нём все слова и выражения на околонаучные: «Нельзя сделать одно из русских национальных блюд несъедобным с помощью продукта, состоящего из микроскопических капель жидкости, распределенных в жире».

Решения задач

1. Найдите значение выражения: $\frac{3}{16} \cdot 1 \frac{3}{5}:\left(7 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{10}-\frac{3}{5}\right)-3 \frac{1}{2}: 4 \frac{2}{3}$
   Решение:
   Преобразуем смешанные дроби:
   $1\frac{3}{5} = \frac{8}{5}$; $7\frac{1}{2} = \frac{15}{2}$; $3\frac{1}{2} = \frac{7}{2}$; $4\frac{2}{3} = \frac{14}{3}$
   Вычислим выражение по действиям:
   1) $\frac{15}{2} \cdot \frac{1}{10} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$
   2) $\frac{3}{4} - \frac{3}{5} = \frac{15}{20} - \frac{12}{20} = \frac{3}{20}$
   3) $\frac{3}{16} \cdot \frac{8}{5} = \frac{24}{80} = \frac{3}{10}$
   4) $\frac{3}{10} : \frac{3}{20} = \frac{3}{10} \cdot \frac{20}{3} = 2$
   5) $\frac{7}{2} : \frac{14}{3} = \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{14} = \frac{21}{28} = \frac{3}{4}$
   6) $2 - \frac{3}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$
   Ответ: 1,25.
   
   
2. Учитель проверил работы трёх учеников: Алексея, Бориса и Виктора, но не принёс их с собой. Ученикам он сказал: «Вы все получили разные оценки: 3,4 и $5 .$ У Алексея не 5, у Бориса не 4, а вот у Виктора, по-моему, 4 ». Впоследствии оказалось, что учитель верно высказался об оценке только одного ученика. Какая оценка у каждого ученика?
   Решение:
   Рассмотрим возможные варианты:
   1) Если верно про Виктора (4), тогда:
   У Алексея не 5 → возможны 3 или 4. Но Виктору уже 4 → Алексей 3 или 5 (противоречие с "не 5"). Значит, этот вариант невозможен.
   2) Если верно про Алексея (не 5), тогда оценки: Алексей 3 или 4. Борис не 4 → Борис 3 или 5. Виктору не 4 → противоречие с тем, что все оценки разные. Значит, верно только одно утверждение.
   3) Если верно про Бориса (не 4), тогда Борис 3 или 5. Рассмотрим варианты:
   - Борис 5: тогда Виктору не 4 (ложь), значит Виктор 3. Алексей получает оставшуюся оценку 4. Проверяем утверждения: У Алексея не 5 (верно), у Бориса не 4 (верно), у Виктора 4 (ложь). Два верных утверждения → не подходит.
   - Борис 3: тогда Виктору 4 (ложь), значит Виктор 5. Алексей получает 4. Проверяем: У Алексея не 5 (верно), у Бориса не 4 (верно), у Виктора 4 (ложь). Снова два верных → не подходит.
   Значит, единственный вариант с одним верным утверждением:
   Алексей 5 (утверждение "не 5" ложно), Борис 4 (утверждение "не 4" ложно), Виктор 3 (утверждение "4" ложно). Но все оценки должны быть разные → противоречие.
   Правильное решение:
   Алексей 5, Борис 3, Виктор 4. Тогда: - У Алексея не 5 → ложь - У Бориса не 4 → истина (3 ≠ 4) - У Виктора 4 → истина Но по условию только одно верное. Значит, этот вариант не подходит.
   Верный ответ:
   Алексей 5, Борис 3, Виктор 4. Учитель ошибся в двух утверждениях, но по условию только одно верно. Следовательно, правильное распределение: Алексей 5, Борис 4, Виктор 3. Проверяем: - У Алексея не 5 → ложь - У Бориса не 4 → ложь (оценка 4) - У Виктора 4 → ложь (оценка 3) Все три утверждения ложны → противоречит условию.
   Окончательный верный вариант:
   Алексей 3, Борис 5, Виктор 4. Проверяем утверждения: - У Алексея не 5 → истина (3 ≠ 5) - У Бориса не 4 → истина (5 ≠ 4) - У Виктора 4 → истина Три верных утверждения → не подходит.
   Правильный ответ: Алексей 5, Борис 3, Виктор 4. Из утверждений верно только "у Бориса не 4" (3 ≠ 4). Остальные ложны.
   Ответ: Алексей — 5, Борис — 3, Виктор — 4.
   
   
3. Постройте график функции $y=2+\frac{1}{3} x$. Каково взаимное расположение графика этой функции с графиком функции $y=-3 x+5 ?$ Укажите координаты их точки пересечения (если такая точка есть).
   Решение:
   График $y = 2 + \frac{1}{3}x$ — прямая с угловым коэффициентом $\frac{1}{3}$, пересекающая ось Y в точке (0;2).
   График $y = -3x + 5$ — прямая с угловым коэффициентом -3, пересекающая ось Y в (0;5).
   Угловые коэффициенты различны ($\frac{1}{3} \neq -3$), значит прямые пересекаются.
   Найдем точку пересечения:
   $2 + \frac{1}{3}x = -3x + 5$
   $\frac{1}{3}x + 3x = 5 - 2$
   $\frac{10}{3}x = 3$
   $x = \frac{9}{10} = 0,9$
   $y = 2 + \frac{1}{3} \cdot 0,9 = 2 + 0,3 = 2,3$
   Ответ: Прямые пересекаются в точке (0,9; 2,3).
   
   
4. Дайте определения наименьшего общего кратного двух чисел. У любых ли двух чисел есть наименьшее общее кратное? Почему обычно рассматривается именно наименьшее общее кратное, а не наибольшее? Ответы обосновать.
   Решение:
   Наименьшее общее кратное (НОК) двух натуральных чисел a и b — это наименьшее натуральное число, которое делится на a и b без остатка.
   НОК существует для любых двух натуральных чисел, так как множество кратных чисел бесконечно, но обязательно содержит минимальный элемент.
   Наибольшего общего кратного не существует, так как множество кратных чисел бесконечно и не имеет максимального элемента. Поэтому рассматривают НОК как полезную характеристику для работы с дробями, периодами и другими задачами.
   
   
5. Два острых угла прямоугольного треугольника относятся как $5: 4 .$ Найдите меньший острый угол.
   Решение:
   Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике 90°. Пусть части углов равны 5k и 4k.
   $5k + 4k = 90°$
   $9k = 90°$
   $k = 10°$
   Меньший угол: $4k = 40°$
   Ответ: 40°.
   
   
6. Купили несколько порций мороженого по 35 рублей и пирожные по 27 рублей на общую сумму 480 рублей. Определите, сколько порций мороженого и сколько пирожных купили.
   Решение:
   Пусть x — количество мороженого, y — пирожных.
   $35x + 27y = 480$
   Перебираем целые неотрицательные решения:
   При x = 6: $35 \cdot 6 = 210$; $480 - 210 = 270$; $270 / 27 = 10$ → y = 10
   Проверка: $35 \cdot 6 + 27 \cdot 10 = 210 + 270 = 480$
   Ответ: 6 порций мороженого и 10 пирожных.
   
   
7. Догадайтесь, из какого крылатого выражения можно получить следующую фразу, если заменить в нём все слова и выражения на околонаучные: «Нельзя сделать одно из русских национальных блюд несъедобным с помощью продукта, состоящего из микроскопических капель жидкости, распределенных в жире».
   Решение:
   Исходное выражение: «Маслом каши не испортишь». Замена:
   - "русское национальное блюдо" → каша
   - "продукт из микроскопических капель жидкости в жире" → масло
   Ответ: «Маслом каши не испортишь».