8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМШ МИЭМ из 6 в 7 класс 2015 год

Сложность:
Дата экзамена: 2015
Печать
youit.school ©

ФМШ МИЭМ


2015 год


Вариант ФМШ2015-07-1



  1. Найдите значение выражения: $\left(7-1 \frac{4}{23} \cdot 3 \frac{5}{6}+3 \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{19}\right): \frac{2}{3}-\frac{2}{3}$
  2. Петя, Катя и Саша пошли на бал-маскарад. Во время раздачи призов королева бала попросила каждого из них сказать, мальчик он или девочка. В ответ дважды прозвучало «Я - мальчик» и один раз «Я - девочка». Потом оказалось, что два из этих ответов верны, а один - нет. Назовите полное имя Саши.
  3. Постройте график функции $y=5-\frac{1}{3} x$. Каково взаимное расположение графика этой функции с графиком функции $y=3 x-2 ?$ Укажите координаты их точки пересечения (если такая точка есть).
  4. Дайте определения наибольшего общего делителя двух чисел. У любых ли двух чисел есть наибольший общий делитель? Почему обычно рассматривается именно наибольиий общий делитель, а не наименьиий? Ответы обосновать.
  5. Два острых угла прямоугольного треугольника относятся как $4: 5 .$ Найдите больший острый угол.
  6. Купили 7 одинаковых блокнотов и 6 одинаковых книг на 378 рублей. Определите цену одного блокнота (она больше 20 рублей) и цену одной книги (она больше 30 рублей), если известно, что цены выражаются натуральными числами.
  7. Догадайтесь, из какого крылатого выражения можно получить следующую фразу, если заменить в нём все слова и выражения на околонаучные: «Производительный труд не является хищным животным и не может переместиться в обычную для этого животного среду обитания».
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Найдите значение выражения: $\left(7-1 \frac{4}{23} \cdot 3 \frac{5}{6}+3 \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{19}\right): \frac{2}{3}-\frac{2}{3}$
    Решение:
    Преобразуем смешанные дроби:
    $1\frac{4}{23} = \frac{27}{23}$; $3\frac{5}{6} = \frac{23}{6}$; $3\frac{1}{6} = \frac{19}{6}$
    Выполним умножения:
    $\frac{27}{23} \cdot \frac{23}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$
    $\frac{19}{6} \cdot \frac{3}{19} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
    Подставим в выражение:
    $\left(7 - \frac{9}{2} + \frac{1}{2}\right) : \frac{2}{3} - \frac{2}{3} = \left(7 - 4\right) : \frac{2}{3} - \frac{2}{3} = 3 \cdot \frac{3}{2} - \frac{2}{3} = \frac{9}{2} - \frac{2}{3} = \frac{27}{6} - \frac{4}{6} = \frac{23}{6}$
    Ответ: $\frac{23}{6}$.

  2. Петя, Катя и Саша пошли на бал-маскарад. Во время раздачи призов королева бала попросила каждого из них сказать, мальчик он или девочка. В ответ дважды прозвучало «Я - мальчик» и один раз «Я - девочка». Потом оказалось, что два из этих ответов верны, а один - нет. Назовите полное имя Саши.
    Решение:
    Рассмотрим возможные варианты:
    1) Если Саша — мальчик, то его ответ "Я - мальчик" верен. Тогда из оставшихся двух ответов один должен быть верным и один ложным. Но Петя и Катя не могут одновременно быть мальчиком и девочкой. Противоречие.
    2) Если Саша — девочка (Александра), то её ответ "Я - девочка" верен. Тогда из двух ответов "Я - мальчик" один должен быть ложным. Значит, один из Пети или Кати солгал. Это возможно только если Катя — девочка (ответ "Я - мальчик" ложный), а Петя — мальчик (ответ верный). Условие выполняется.
    Ответ: Александра.

  3. Постройте график функции $y=5-\frac{1}{3} x$. Каково взаимное расположение графика этой функции с графиком функции $y=3 x-2 ?$ Укажите координаты их точки пересечения (если такая точка есть).
    Решение:
    Найдем точку пересечения:
    $5 - \frac{1}{3}x = 3x - 2$
    $5 + 2 = 3x + \frac{1}{3}x$
    $7 = \frac{10}{3}x$
    $x = \frac{21}{10} = 2,1$
    $y = 3 \cdot 2,1 - 2 = 6,3 - 2 = 4,2$
    Графики пересекаются в точке (2,1; 4,2). Так как угловые коэффициенты различны ($k_1 = -\frac{1}{3}$, $k_2 = 3$), графики пересекаются.
    Ответ: пересекаются; (2,1; 4,2).

  4. Дайте определения наибольшего общего делителя двух чисел. У любых ли двух чисел есть наибольший общий делитель? Почему обычно рассматривается именно наибольший общий делитель, а не наименьший? Ответы обосновать.
    Решение:
    Наибольший общий делитель (НОД) двух чисел — это наибольшее натуральное число, которое делит оба исходных числа без остатка.
    Да, у любых двух целых чисел существует НОД (хотя бы 1). Наименьший общий делитель всегда равен 1 для взаимно простых чисел, поэтому он неинформативен. Наибольший же делитель позволяет эффективно сокращать дроби и решать другие задачи.

  5. Два острых угла прямоугольного треугольника относятся как $4: 5 .$ Найдите больший острый угол.
    Решение:
    Сумма острых углов: $90^\circ$. Пусть углы равны $4x$ и $5x$.
    $4x + 5x = 90^\circ$
    $9x = 90^\circ$
    $x = 10^\circ$
    Больший угол: $5x = 50^\circ$
    Ответ: 50.

  6. Купили 7 одинаковых блокнотов и 6 одинаковых книг на 378 рублей. Определите цену одного блокнота (она больше 20 рублей) и цену одной книги (она больше 30 рублей), если известно, что цены выражаются натуральными числами.
    Решение:
    Уравнение: $7b + 6k = 378$, где $b > 20$, $k > 30$
    Выразим $k$: $k = \frac{378 - 7b}{6}$
    Подберем целые значения $b$:
    При $b = 24$: $k = \frac{378 - 168}{6} = \frac{210}{6} = 35$ — удовлетворяет условиям.
    Ответ: 24 рубля; 35 рублей.

  7. Догадайтесь, из какого крылатого выражения можно получить следующую фразу, если заменить в нём все слова и выражения на околонаучные: «Производительный труд не является хищным животным и не может переместиться в обычную для этого животного среду обитания».
    Решение:
    Исходное выражение: "Работа — не волк, в лес не убежит". Научная замена: "производительный труд" (работа), "хищное животное" (волк), "среда обитания" (лес).
    Ответ: "Работа — не волк, в лес не убежит".
Материалы школы Юайти