ФМШ МИЭМ из 10 в 11 класс 2019 год

ФМШ МИЭМ

2019 год

Вариант ФМШ 2019-11-2

1. Вычислите сумму ряда: \[ 6 + 15 + 24 + \dots + \bigl(n^2 - 24\bigr) + \bigl(n^2 - 15\bigr) + \bigl(n^2 - 6\bigr) \quad \text{(Идея задачи: Николай Дмитриев, 8 класс, Москва).} \]
   
   
2. Что такое многогранник? Может ли многогранник иметь бесконечное количество рёбер? Если да, то будет ли в этом случае конечной или бесконечной сумма длин всех его рёбер? Если нет, то может ли тем не менее сумма длин всех рёбер многогранника быть бесконечной? Ответы обосновать.
   
   
3. Хомячок с 0 часов ночи до 6 часов утра бегает в колесе диаметром 18 см. Сделав пробежку продолжительностью 2–3 минуты, он отдыхает. Затем снова бежит и опять отдыхает. Время отдыха в 2–4 раза меньше времени только что сделанной пробежки. За одну пробежку колесо делает 100–120 полных оборотов, а каждые 3 км пробега хомячка дают 1 Вт·ч энергии. Сколько понадобится таких хомячков, чтобы за ночь полностью зарядить мобильный телефон, который полностью заряжается зарядным устройством с напряжением 5 В и средним током 1 А в течение 3 часов \[ \bigl(A = I \cdot U \cdot t\bigr). \]
   
   
4. Часть графика линейной функции \[ y = kx + b \] вместе с осями координат образует треугольник. После увеличения в \(p\) раз модуля \(b\) площадь треугольника уменьшилась. В каких пределах могло измениться значение \(k\)?
   
   
5. Изобразите на координатной плоскости множество всех точек, модули координат которых отличаются не менее, чем на некоторое число, кратное трём, и одновременно сумма модулей координат не превышает ближайшее большее число, кратное трём.
   
   
6. Каждое новое значение времени (кроме первого и второго), выводимое электронными часами в формате ЧЧ:ММ (2 разряда для часов и 2 разряда для минут: от 00:00 до 23:59), отличается от предыдущего «в 6 раз больше, чем» предыдущие от предпредыдущего. Может ли возникнуть ситуация, когда стрелки обычных часов, показывающих ту же последовательность значений времени, вновь окажутся в некотором положении, которое занимали ранее? Если да, то найдите все случаи, в которых такое может случиться.
   
   
7. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} \displaystyle \log_{2}\sqrt{\frac{(3 - x)\,(x^2 - 1)}{x - 1}} \;+\; \sin\sqrt{\frac{2 - x}{x + 4}} \;\ge\;\tfrac12, \\[1em] \displaystyle \Bigl(-\,\sqrt{\tfrac{2 - x}{x + 4}} \;+\;3\cos\sqrt{\tfrac{2 - x}{x + 4}}\Bigr) \;\cdot\;\sin\pi x \;\ge\;0. \end{cases} \]

Решения задач

1. Вычислите сумму ряда: \[ 6 + 15 + 24 + \dots + \bigl(n^2 - 24\bigr) + \bigl(n^2 - 15\bigr) + \bigl(n^2 - 6\bigr) \] Решение: Заметим, что члены ряда образуют арифметическую прогрессию с разностью \(d = 9\). Первый член \(a_1 = 6\), последний член \(a_m = n^2 - 6\). Найдём количество членов: \[ a_m = a_1 + (m-1)d \implies n^2 - 6 = 6 + 9(m-1) \implies m = \frac{n^2 - 12}{9} + 1 \] Сумма прогрессии: \[ S = \frac{a_1 + a_m}{2} \cdot m = \frac{6 + (n^2 - 6)}{2} \cdot \frac{n^2 - 3}{9} = \frac{n^2}{2} \cdot \frac{n^2 - 3}{9} = \frac{n^2(n^2 - 3)}{18} \] Ответ: \(\frac{n^2(n^2 - 3)}{18}\).
   
   
2. Многогранник — тело, ограниченное плоскими многоугольниками. Многогранник может иметь бесконечное количество рёбер, если он бесконечен (например, бесконечная призма). В этом случае сумма длин рёбер будет бесконечной. Конечный многогранник имеет конечное число рёбер и конечную сумму длин.
   Ответ: Многогранник может иметь бесконечное количество рёбер (в бесконечном случае), сумма длин будет бесконечной. Конечный многогранник имеет конечную сумму длин рёбер.
   
   
3. Энергия для зарядки телефона: \(5 \cdot 1 \cdot 3 = 15\) Вт·ч. За ночь (6 часов) хомяк пробегает: \[ \text{Дистанция за пробежку} = \pi \cdot 0.18 \cdot (100 \text{–} 120) \approx 56.55 \text{–} 67.86 \text{ м} \] Цикл (пробежка + отдых): \(2.5 \text{–} 4.5\) мин. Количество циклов: \(80 \text{–} 144\). Общий пробег: \(4.524 \text{–} 9.771\) км. Энергия: \(1.508 \text{–} 3.257\) Вт·ч. Число хомяков: \[ \frac{15}{3.257} \approx 5 \quad \text{до} \quad \frac{15}{1.508} \approx 10 \] Ответ: 5–10 хомяков.
   
   
4. Площадь треугольника до изменения: \(S = \frac{b^2}{2|k|}\). После увеличения \(|b|\) в \(p\) раз новая площадь: \[ S' = \frac{(p|b|)^2}{2|k'|} < S \implies \frac{p^2}{|k'|} p^2|k| \] Ответ: \(k\) должно увеличиться так, что \(|k'| > p^2|k|\).
   
   
5. Множество точек \((x, y)\), где \(||x| - |y|| \geq 3k\) (k ∈ ℕ) и \(|x| + |y| \leq 3m\) (m ∈ ℕ, \(3m \geq |x| + |y|\)). Графически — объединение областей между линиями \(|x| - |y| = 3k\) внутри ромба \(|x| + |y| \leq 3m\).
   Ответ: Заштрихованные области между диагоналями в ромбе.
   
   
6. Рекуррентное соотношение: \(t_n = 7t_{n-1} - 6t_{n-2}\). Общее решение: \(t_n = A + B \cdot 6^n\). Из-за ограниченности времени (00:00–23:59) последовательность периодична. Стрелки совпадут при совпадении времени с периодом.
   Ответ: Да, например, при \(t_0 = 00:00\), \(t_1 = 00:01\), цикл повторится через 1440 минут.
   
   
7. Решите систему: \[ \begin{cases} \log_{2}\sqrt{\frac{(3 - x)(x^2 - 1)}{x - 1}} + \sin\sqrt{\frac{2 - x}{x + 4}} \geq \frac{1}{2}, \\ \left(-\sqrt{\frac{2 - x}{x + 4}} + 3\cos\sqrt{\frac{2 - x}{x + 4}}\right) \cdot \sin\pi x \geq 0. \end{cases} \] Решение: ОДЗ \(x ∈ (-1; 1) ∪ (1; 2]\). Второе неравенство выполняется при \(x ∈ [0; 1]\). Первое неравенство верно для \(x ∈ (0; 1)\).
   Ответ: \(x ∈ (0; 1)\).