ФМШ МИЭМ из 10 в 11 класс 2019 год вариант ФМШ 2019-11-1

ФМШ МИЭМ

2019 год

Вариант ФМШ 2019-11-1

1. Вычислите сумму ряда: \[ 3 + 12 + 21 + \dots + (n^2 - 21) + (n^2 - 12) + (n^2 - 3) \quad \text{(Идея задачи: Николай Дмитриев, 8 класс, Москва).} \]
   
   
2. Что такое многогранник? Может ли многогранник иметь бесконечное количество граней? Если да, то будет ли в этом случае конечной или бесконечной площадь его полной поверхности? Если нет, то может ли тем не менее площадь полной поверхности многогранника быть бесконечной? Ответы обосновать.
   
   
3. Хомячок с 0 часов ночи до 6 часов утра бегает в колесе диаметром 18\,см. Сделав пробежку продолжительностью 1–2 минуты, он отдыхает. Затем снова бежит и опять отдыхает. Время отдыха в 2–3 раза меньше, чем время только что сделанной пробежки. За одну пробежку колесо делает 60–80 полных оборотов, а каждые 3 км пробега хомячка дают 1 Вт·ч энергии. Сколько понадобится таких хомячков, чтобы за ночь полностью зарядить мобильный телефон, который полностью заряжается зарядным устройством с напряжением 5 В и средним током 1 А в течение 3 часов \[ (A = I \cdot U \cdot t). \]
   
   
4. Часть графика линейной функции \[ y = kx + b \] вместе с осями координат образует треугольник. После уменьшения в \(t\) раз модуля коэффициента \(k\) площадь треугольника увеличилась. В каких пределах могло измениться значение \(b\)?
   
   
5. Изобразите на координатной плоскости множество всех точек, модули координат которых отличаются не менее, чем на некоторое четное число, и одновременно сумма модулей координат не превышает ближайшее большее четное число.
   
   
6. Каждое новое значение времени (кроме первого и второго), выводимое электронными часами в формате ЧЧ:ММ (2 разряда для часов и 2 разряда для минут: от 00:00 до 23:59), отличается от предыдущего «в 4 раза больше, чем» предыдущие от предпредыдущего. Может ли возникнуть ситуация, когда стрелки обычных часов, показывающих ту же последовательность значений времени, вновь окажутся в некотором положении, которое занимали ранее? Если да, то найдите все случаи, в которых такое может случиться.
   
   
7. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} \displaystyle \log_{2}\sqrt{\frac{(3 - x)\,(x^2 - 1)}{x - 1}} \;+\; \sin\sqrt{\frac{2 - x}{x + 4}} \;\ge\;\frac12, \\[1em] \displaystyle \Bigl(-\,\sqrt{\frac{2 - x}{x + 4}} +3\cos\sqrt{\frac{2 - x}{x + 4}}\Bigr) \;\cdot\;\sin\pi x \;\ge\;0. \end{cases} \]

Решения задач

1. Вычислите сумму ряда: \[ 3 + 12 + 21 + \dots + (n^2 - 21) + (n^2 - 12) + (n^2 - 3) \] Решение: Заметим симметрию членов ряда. Первый член: $3 = 3$, последний: $n^2 - 3$. Второй: $12 = 12$, предпоследний: $n^2 - 12$. Третий: $21 = 21$, третий с конца: $n^2 - 21$. Сумма каждой пары: \[ 3 + (n^2 - 3) = n^2, \quad 12 + (n^2 - 12) = n^2, \quad 21 + (n^2 - 21) = n^2, \dots \] Количество пар равно количеству членов, делённому на 2. Число членов ряда: \[ \frac{n^2 - 3 - 3}{9} + 1 = \frac{n^2 - 6}{9} + 1 = \frac{n^2 + 3}{9} \] Условие целочисленности: $n^2 \equiv 6 \pmod{9}$, что невозможно. Следовательно, ряд содержит $\frac{n^2}{3}$ членов. Сумма: \[ S = \frac{n^2}{3} \cdot \frac{n^2}{2} = \frac{n^4}{6} \] Ответ: $\frac{n^4}{6}$.
   
   
2. Что такое многогранник? Может ли многогранник иметь бесконечное количество граней? Если да, то будет ли в этом случае конечной или бесконечной площадь его полной поверхности? Если нет, то может ли тем не менее площадь полной поверхности многогранника быть бесконечной? Ответы обосновать.
   Решение:
   • Многогранник — геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников.
   • Нет, многогранник по определению имеет конечное число граней.
   • Если допустить бесконечное число граней, это не многогранник. Однако площадь поверхности может быть бесконечной при бесконечном числе ненулевых площадей граней.
   • В классическом многограннике площадь поверхности конечна, так как сумма конечного числа конечных площадей конечна.
   Ответ: Нет, многогранник не может иметь бесконечное число граней. Площадь поверхности классического многогранника всегда конечна.
   
   
3. Хомячок с 0 часов ночи до 6 часов утра бегает в колесе диаметром 18\,см. Сделав пробежку продолжительностью 1–2 минуты, он отдыхает. Затем снова бежит и опять отдыхает. Время отдыха в 2–3 раза меньше, чем время только что сделанной пробежки. За одну пробежку колесо делает 60–80 полных оборотов, а каждые 3 км пробега хомячка дают 1 Вт·ч энергии. Сколько понадобится таких хомячков, чтобы за ночь полностью зарядить мобильный телефон, который полностью заряжается зарядным устройством с напряжением 5 В и средним током 1 А в течение 3 часов \[ (A = I \cdot U \cdot t). \] Решение:
   • Энергия для телефона: $5 \cdot 1 \cdot 3 = 15$ Вт·ч.
   • Длина окружности колеса: $0,18\pi \approx 0,5655$ м.
   • Пробег за цикл (1 пробежка + отдых):
     • Минимальный: $60 \cdot 0,5655 \approx 33,93$ м за 2 мин пробега + 1 мин отдыха = 3 мин/цикл. За 6 часов: $120$ циклов $\Rightarrow 120 \cdot 33,93 \approx 4,07$ км $\Rightarrow 1,36$ Вт·ч.
     • Максимальный: $80 \cdot 0,5655 \approx 45,24$ м за 1 мин пробега + 0,5 мин отдыха = 1,5 мин/цикл. За 6 часов: $240$ циклов $\Rightarrow 240 \cdot 45,24 \approx 10,86$ км $\Rightarrow 3,62$ Вт·ч.
   • Требуемое количество хомячков: $\frac{15}{1,36} \approx 11$ (минимум), $\frac{15}{3,62} \approx 5$ (максимум).
   Ответ: От 5 до 11 хомячков.
   
   
4. Часть графика линейной функции \[ y = kx + b \] вместе с осями координат образует треугольник. После уменьшения в \(t\) раз модуля коэффициента \(k\) площадь треугольника увеличилась. В каких пределах могло измениться значение \(b\)?
   Решение:
   • Исходная площадь: $S = \frac{b^2}{2|k|}$.
   • Новая площадь: $S' = \frac{b'^2}{2|k|/t} = \frac{t b'^2}{2|k|}$.
   • Условие $S' > S \Rightarrow t b'^2 > b^2 \Rightarrow |b'| > \frac{|b|}{\sqrt{t}}$.
   Ответ: $|b'| \in \left(\frac{|b|}{\sqrt{t}}, +\infty\right)$.
   
   
5. Изобразите на координатной плоскости множество всех точек, модули координат которых отличаются не менее, чем на некоторое четное число, и одновременно сумма модулей координат не превышает ближайшее большее четное число.
   Решение: Пусть четное число — $2n$. Условия:
   • $||x| - |y|| \geq 2n$.
   • $|x| + |y| \leq 2n + 2$.
   График — пересечение областей между параллельными прямыми $|x| - |y| = \pm 2n$ и ромба $|x| + |y| \leq 2n + 2$. Ответ: Фигура, ограниченная линиями $|x| + |y| = 2n + 2$ и $||x| - |y|| = 2n$.
   
   
6. Каждое новое значение времени (кроме первого и второго), выводимое электронными часами в формате ЧЧ:ММ (2 разряда для часов и 2 разряда для минут: от 00:00 до 23:59), отличается от предыдущего «в 4 раза больше, чем» предыдущие от предпредыдущего. Может ли возникнуть ситуация, когда стрелки обычных часов, показывающих ту же последовательность значений времени, вновь окажутся в некотором положении, которое занимали ранее? Если да, то найдите все случаи, в которых такое может случиться.
   Решение: Последовательность временных меток образует арифметическую прогрессию с разностью, увеличивающейся в 4 раза на каждом шаге. Например: $t_1, t_2, t_2 + 4(t_2 - t_1), t_3 + 4(t_3 - t_2), \dots$. Поскольку время циклично с периодом 24 часа, повторение положения стрелок возможно только если сумма всех разностей кратна 24 часам. Однако из-за экспоненциального роста разностей это невозможно. Ответ: Нет, такая ситуация невозможна.
   
   
7. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} \displaystyle \log_{2}\sqrt{\frac{(3 - x)\,(x^2 - 1)}{x - 1}} \;+\; \sin\sqrt{\frac{2 - x}{x + 4}} \;\ge\;\frac12, \\[1em] \displaystyle \Bigl(-\,\sqrt{\frac{2 - x}{x + 4}} +3\cos\sqrt{\frac{2 - x}{x + 4}}\Bigr) \;\cdot\;\sin\pi x \;\ge\;0. \end{cases} \] Решение:
   • ОДЗ: $x \in (-1, 1) \cup (1, 2]$.
   • Первое неравенство: $\log_2\sqrt{(3-x)(x+1)} + \sin\sqrt{\frac{2-x}{x+4}} \geq \frac{1}{2}$ выполняется при $x \in [0, 2]$.
   • Второе неравенство: $\left(3\cos t - t\right) \cdot \sin(\pi x) \geq 0$, где $t = \sqrt{\frac{2-x}{x+4}}$. Так как $3\cos t - t > 0$, неравенство сводится к $\sin(\pi x) \geq 0$, что верно при $x \in [0, 1) \cup (1, 2]$.
   Ответ: $x \in [0, 1) \cup (1, 2]$.