ФМШ МИЭМ из 10 в 11 класс 2018 год вариант ФМШ 2018-11-2

ФМШ МИЭМ

2018 год

Вариант ФМШ2018-11-2

1. Решите уравнение: \[ \cos\!\Bigl(\frac{\pi}{2} - \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2} - \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2} - \cos(\dots(x))\bigr)\bigr)\Bigr) = 0. \]
   
   
2. Как известно, в евклидовой геометрии есть пересекающиеся и непересекающиеся прямые. Рассмотрим другую геометрию, в которой никакие две прямые не пересекаются. Предложите вариант изображения прямых в такой геометрии. Какие свойства геометрических объектов в новой геометрии могут сохраниться, а какие обязательно изменятся? Ответы обосновать.
   
   
3. Два велосипедиста поехали по одной дороге из города \(N\). Первый из них ехал с ускорением \((-4)\)\,км/ч\(^2\) до тех пор, пока его скорость не уменьшилась до \(10\)\,км/ч, и после этого ехал с ускорением \(2\)\,км/ч\(^2\), пока его скорость не увеличилась до \(18\)\,км/ч, потом снова с ускорением \((-4)\)\,км/ч\(^2\), пока его скорость не уменьшилась до \(10\)\,км/ч, и т.\,д. А второй, выехавший на 1 час позже первого, каждый чётный час своего пути ехал с ускорением \(4\)\,км/ч\(^2\), а каждый нечётный — с ускорением \((-2)\)\,км/ч\(^2\). Через какое время после своего старта второй велосипедист догнал первого, если начальная скорость первого велосипедиста равна \(18\)\,км/ч, а второго — \(17\)\,км/ч?
   
   
4. На координатной плоскости изобразите множество точек, координаты которых удовлетворяют следующему условию: \[ y - x \;\le\; x y^2 \;\le\; y + x. \]
   
   
5. В прямоугольный треугольник, один из катетов которого в 2 раза меньше гипотенузы, вписан прямоугольник таким образом, что одна из его сторон лежит на гипотенузе треугольника. Какое максимальное значение может принимать площадь данного прямоугольника, если гипотенуза исходного треугольника равна \(a\)?
   
   
6. Решите неравенство: \[ 10^{\,|\ln| - x|} \;>\; 3^{-\,|\lg |x||}. \]
7. При каких натуральных значениях \(k\) и попарно различных действительных значениях \(a\), \(b\) и \(c\) решение неравенства \[ \frac{(x - a)^k \,(x - b)^{k-1}}{\,c - x\,} \;\ge\; 0 \] является интервалом (полуинтервалом)?

Решения задач

1. Решите уравнение: \[ \cos\!\Bigl(\frac{\pi}{2} - \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2} - \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2} - \cos(\dots(x))\bigr)\bigr)\Bigr) = 0. \]
   Решение: Используем тождество $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin\alpha$. Уравнение преобразуется в цепочку: \[ \sin(\cos(\sin(\cos(\dots(x))))) = 0 \] Синус равен нулю, когда его аргумент кратен $\pi$. Однако внутренние функции $\cos$ и $\sin$ ограничены значениями $[-1;1]$, поэтому единственный возможный случай — когда все внутренние функции равны нулю: \[ \cos(\sin(\cos(\dots(x)))) = 0 \quad \Rightarrow \quad \sin(\cos(\dots(x))) = \frac{\pi}{2} \] Но $\sin$ не может превышать 1, следовательно, единственное решение достигается при $x = 0$, где все внутренние функции последовательно обращаются в ноль.
   Ответ: $x = 0$.
   
   
2. Рассмотрим геометрию, где "прямыми" являются параллельные линии на плоскости. В такой геометрии:
   • Сохраняются: отношение параллельности, понятие направления, расстояние между параллелями
   • Изменяются: аксиома о пересечении прямых, понятие угла между прямыми, аксиоматическая база (например, через точку вне "прямой" нельзя провести другую "прямую")
   Ответ: Пример — параллельные линии на плоскости. Сохраняется параллельность, изменяются аксиомы пересечения.
   
   
3. Решение для велосипедистов:
   Первый велосипедист:
   • Цикл движения: $18 \xrightarrow{-4} 10 \xrightarrow{2} 18$ км/ч
   • Время цикла: $\frac{18-10}{4} + \frac{18-10}{2} = 2 + 4 = 6$ ч
   • Средняя скорость за цикл: $\frac{18+10}{2} \cdot 2 + \frac{10+18}{2} \cdot 4 = 28 + 56 = 84$ км за 6 ч → 14 км/ч
   Второй велосипедист:
   • Чётные часы: $a = 4$ км/ч², нечётные: $a = -2$ км/ч²
   • Скорость через $t$ часов: $v(t) = 17 + 4\cdot\frac{t}{2} - 2\cdot\frac{t}{2} = 17 + t$ км/ч
   Уравнение движения через $t$ часов после старта второго: \[ 14(t+1) = 17t + \frac{t^2}{2} \] Решение: $t^2 - 6t - 28 = 0 \Rightarrow t = 3 + \sqrt{37} \approx 9.08$ ч.
   Ответ: Через $3 + \sqrt{37}$ часов.
   
   
4. Множество точек: \[ y - x \le xy^2 \le y + x \] Разделим на два неравенства:
   1. $xy^2 \ge y - x \quad \Rightarrow \quad x(y^2 + 1) \ge y$
   2. $xy^2 \le y + x \quad \Rightarrow \quad x(y^2 - 1) \le y$
   При $y^2 = 1$ второе неравенство выполняется всегда. При $y \neq \pm1$ выражаем $x$: \[ \frac{y}{y^2 + 1} \le x \le \frac{y}{y^2 - 1} \] График включает области между этими кривыми и прямые $y = \pm1$.
   Ответ: Объединение областей между кривыми $x = \frac{y}{y^2 + 1}$ и $x = \frac{y}{y^2 - 1}$ при $y \neq \pm1$.
   
   
5. Максимальная площадь прямоугольника:
   Исходный треугольник: катеты $\frac{a}{2}$ и $\frac{\sqrt{3}a}{2}$, гипотенуза $a$. Прямоугольник с основанием $x$ на гипотенузе: \[ S(x) = x \cdot \left(\frac{\sqrt{3}a}{2} - \frac{\sqrt{3}x}{2}\right) \] Максимум при $x = \frac{a}{2}$: \[ S_{max} = \frac{a}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}a}{4} = \frac{\sqrt{3}a^2}{8} \] Ответ: $\frac{\sqrt{3}a^2}{8}$.
   
   
6. Решение неравенства: \[ 10^{\,|\ln| - x|} > 3^{-\,|\lg |x||} \] Логарифмируем обе части: \[ |\ln|x|| \cdot \ln10 > -|\lg|x|| \cdot \ln3 \] Учитывая $\lg|x| = \frac{\ln|x|}{\ln10}$, преобразуем: \[ |\ln|x|| \cdot (\ln10 + \frac{\ln3}{\ln10}) > 0 \] Решение: $x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$.
   Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
   
   
7. Условие для неравенства: \[ \frac{(x - a)^k (x - b)^{k-1}}{c - x} \ge 0 \] Решение будет интервалом при:
   • $k$ — нечётное
   • Точки $a$, $b$, $c$ расположены: $c$ между $a$ и $b$
   • Знаки выражения меняются в $c$
   Ответ: При нечётных $k \ge 1$ и расположении $c$ между $a$ и $b$.