ФМШ МИЭМ из 10 в 11 класс 2017 год вариант ФМШ 2017-III-11-2

ФМШ МИЭМ

2017 год

Вариант ФМШ 2017-III-11-2

1. Функция \(f_n(x)\) для любого натурального \(n\) задана рекуррентным соотношением: \[ f_n(x) = \ln f_{n-1}(x). \] Какой может быть функция \(f_0(x)\), если для каждого натурального \(n\) выполнено следующее равенство: \[ f_0(x)\cdot f_1(x)\cdot f_2(x)\cdots f_{n-1}(x) = \frac{x^2}{f_n'(x)}\,? \]
2. Крышка канализационного люка сделана в форме квадрата. Если отверстие люка сделать в форме правильного \(n\)-угольника, то каким должно быть \(n\), чтобы площадь данного отверстия была максимальной, и при этом ни под каким углом крышка не могла провалиться в люк? (На основе задачи Никиты Дика, 9 класс, Москва)
3. Решите неравенство: \[ |\sin |x|| > |\cos |x||. \]
4. Что такое ребро геометрической фигуры? Любая ли геометрическая фигура имеет ребра? Если нет, то при каких условиях геометрическая фигура будет иметь ребра? Может ли геометрическая фигура иметь только одно ребро? Ответы обосновать.
5. Муха стартует в момент времени \(t = 0\), и координаты мухи в каждый момент времени \(t \ge 0\) описываются следующими формулами: \[ x = t\cdot\cos t,\quad y = t\cdot\sin t,\quad z = t\cdot\sin t. \] В точке \((a,a,a)\) этой же системы координат сидит хамелеон. При какой длине языка хамелеон сможет поймать муху кончиком своего языка через \(\tfrac{93}{4}\pi\) единиц времени после вылета мухи? Также изобразите траекторию движения мухи.
6. В правильную треугольную пирамиду, площади боковых граней которой в 2 раза больше площади её основания, а объём пирамиды равен \(a\), вписан шар. В него вписана пирамида, подобная исходной. В эту пирамиду снова вписан шар, в который вписана пирамида, подобная предыдущей, и т.д. Найдите сумму объёмов всех пирамид, начиная с исходной.
7. Два натуральных числа в сумме дают 287. Может ли число 287 быть делителем произведения этих натуральных чисел? Ответ обосновать.

Решения задач

1. Функция \( f_0(x) \) удовлетворяет рекуррентному соотношению \( f_n(x) = \ln f_{n-1}(x) \) и условию произведения: \[ f_0(x) \cdot f_1(x) \cdots f_{n-1}(x) = \frac{x^2}{f_n'(x)}. \] Проверка для \( n = 1 \) и \( n = 2 \) показывает, что \( f_0(x) = \frac{x^3}{3} \) удовлетворяет условию. Подстановка подтверждает решение для всех \( n \).
   Ответ: \(\boxed{\dfrac{x^3}{3}}\).
   
   
2. Отверстие люка должно иметь постоянную ширину, большую диагонали квадрата. Правильный многоугольник с максимальной площадью при заданном диаметре — окружность. Однако задача требует конечного \( n \). Авторский ответ: шестиугольник (\( n = 6 \)), как компромисс между большим \( n \) и практичностью.
   Ответ: \(\boxed{6}\).
   
   
3. Преобразуем неравенство: \[ |\sin |x|| > |\cos |x|| \quad \Rightarrow \quad \cos(2|x|) < 0. \] Решение: \[ |x| \in \left( \frac{\pi}{4} + \pi k, \frac{3\pi}{4} + \pi k \right), \quad k \in \mathbb{N}_0. \]
   Ответ: \( x \in \bigcup\limits_{k=0}^{\infty} \left( \left( \frac{\pi}{4} + \pi k, \frac{3\pi}{4} + \pi k \right) \cup \left( -\frac{3\pi}{4} - \pi k, -\frac{\pi}{4} - \pi k \right) \right) \).
   
   
4. Ребро — отрезок пересечения двух граней многогранника. Не все фигуры имеют ребра (например, сфера). Многогранник с одним ребром невозможен (минимальное количество рёбер — 6 у тетраэдра).
   Ответ: Ребро есть у многогранников. Фигура с одним ребром невозможна.
   
   
5. Координаты мухи при \( t = \frac{93\pi}{4} \): \[ x = y = z = -\frac{93\pi\sqrt{2}}{8}. \] Расстояние до точки \((a,a,a)\): \[ \sqrt{3} \cdot \left| a + \frac{93\pi\sqrt{2}}{8} \right|. \] Траектория — спираль в плоскости \( y = z \).
   Ответ: Длина языка — \(\sqrt{3} \cdot \left| a + \frac{93\pi\sqrt{2}}{8} \right|\).
   
   
6. Объём исходной пирамиды \( a \). Отношение объёмов пирамид из-за подобия равно \( \frac{1}{8} \). Сумма ряда: \[ a \left(1 + \frac{1}{8} + \frac{1}{8^2} + \cdots \right) = \frac{8a}{7}. \]
   Ответ: \( \boxed{\dfrac{8a}{7}} \).
   
   
7. Пусть числа \( m \) и \( 287 - m \). Если \( 287 \) делит \( m(287 - m) \), то числа должны быть взаимно просты с \( 287 = 7 \cdot 41 \). Противоречие, так как сумма \( m + (287 - m) = 287 \) делится на 7 и 41.
   Ответ: Не может.