8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМШ МИЭМ из 10 в 11 класс 2017 год

Сложность:
Дата экзамена: 2017
Печать
youit.school ©

ФМШ МИЭМ


2017 год


Вариант ФМШ 2017-III-11-1



  1. Функция \(f_n(x)\) для любого натурального \(n\) задана рекуррентным соотношением: \[ f_n(x) = \ln f_{n-1}(x). \] Какой может быть функция \(f_0(x)\), если для каждого натурального \(n\) выполнено следующее равенство: \[ f_0(x) \cdot f_1(x) \cdot \ldots \cdot f_{n-1}(x) = \frac{x}{f_n'(x)}. \]
  2. Крышка канализационного люка сделана в форме правильного треугольника. Если отверстие люка сделать в форме правильного \(n\)-угольника, то каким должно быть \(n\), чтобы площадь данного отверстия была максимальной, и при этом ни под каким углом треугольная крышка не могла провалиться в люк? (На основе задачи Никиты Дика, 9 класс, Москва)
  3. Решите неравенство: \[ |\sin |x|| < |\cos |x||. \]
  4. Что такое грань геометрической фигуры? Любая ли геометрическая фигура имеет грани? Если нет, то при каких условиях геометрическая фигура будет иметь грани? Может ли геометрическая фигура иметь только одну грань? Ответы обосновать.
  5. Муха стартует в момент времени \(t = 0\), и координаты мухи в каждый момент времени \(t \ge 0\) описываются следующими формулами: \[ x = t,\quad y = t\cdot\sin t,\quad z = t\cdot\cos t. \] В точке \((a,a,a)\) этой же системы координат сидит хамелеон. При какой длине языка хамелеон сможет поймать муху кончиком своего языка через \(\tfrac{139}{6}\pi\) единиц времени после вылета мухи? Также изобразите траекторию движения мухи.
  6. В правильную четырёхугольную пирамиду, боковые ребра которой в 2 раза длиннее её высоты, а объём пирамиды равен \(a\), вписан шар. В него вписана пирамида, подобная исходной. В эту пирамиду снова вписан шар, в который вписана пирамида, подобная предыдущей, и т.д. Найдите сумму объёмов всех пирамид, начиная с исходной.
  7. Два натуральных числа в сумме дают 341. Может ли число 341 быть делителем произведения этих натуральных чисел? Ответ обосновать.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Функция \(f_n(x)\).

    Решение для нахождения \(f_0(x)\):

    \[ f_n(x) = \ln f_{n-1}(x), \quad f_0(x) \cdot f_1(x) \cdots f_{n-1}(x) = \frac{x}{f_n'(x)} \]

    Пусть \(f_0(x) = e^{kx}\). Тогда производные: \[ f_n(x) = k^{n}x \quad \text{при } n \ge 1 \]

    Проверяя условие: \[ f_0(x) \cdot f_1(x) \cdots f_{n-1}(x) = \frac{x}{f_n'(x)} \Rightarrow e^{kx} \cdot (k^x) \cdots (k^{n-1}x) = k^{\frac{n(n-1)}{2}} \cdot x^n \]

    Приравнивая производную: \[ f_n'(x) = k^n \Rightarrow \frac{x}{f_n'(x)} = \frac{x}{k^n} \]

    Для совпадения при всех \(n\) требуется \(k = 1\), следовательно: \[ f_0(x) = e^{x} \]

    Ответ: \(f_0(x) = e^x\).

  2. Крышка люка.

    Условие максимальной площади отверстия: \[ \text{Диаметр отверстия} \leq h_{\triangle} = \frac{a \sqrt{3}}{2} \]

    Диаметр \(n\)-угольника: \[ d = 2R \cos\left(\frac{\pi}{n}\right) \]

    Максимум площади при \(n \to \infty\). Однако ограничение по безопасности: \[ 2R \cos\left(\frac{\pi}{n}\right) \leq \frac{a \sqrt{3}}{2} \Rightarrow n = 4 \]

    Ответ: \(n = 4\).

  3. Неравенство \(|\sin|x|| < |\cos|x||\).

    Замена \(t = |x| \geq 0\): \[ |\sin t| < |\cos t| \Rightarrow t \in \bigcup_{k=0}^\infty \left(\frac{\pi}{4} + \pi k, \frac{3\pi}{4} + \pi k\right) \]

    Возвращаясь к \(x\): \[ x \in \bigcup_{k=0}^\infty \left(-\frac{3\pi}{4} - \pi k, -\frac{\pi}{4} - \pi k\right) \cup \left(\frac{\pi}{4} + \pi k, \frac{3\pi}{4} + \pi k\right) \]

    Ответ: \(x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \left(\frac{\pi}{4} + \pi k, \frac{3\pi}{4} + \pi k\right)\).

  4. Грани геометрической фигуры.

    Грани — плоские части многогранников. Не все фигуры имеют грани (шар, цилиндр). Грани существуют у многогранников. Одна грань возможна у бесконечных объектов (полуплоскость). Ответ обоснован свойствами многогранников.

    Ответы:
    • Грань — плоская часть поверхности многогранника.
    • Только многогранники имеют грани.
    • Одна грань возможна для открытых фигур (например, полупространство).


  5. Муха и хамелеон.

    Координаты мухи через \(t = \frac{139}{6}\pi\): \[ x = \frac{139\pi}{6}, \quad y = -\frac{139\pi}{12}, \quad z = -\frac{139\pi\sqrt{3}}{12} \]

    Расстояние до точки \((a,a,a)\): \[ \sqrt{\left(\frac{139\pi}{6} - a\right)^2 + \left(-\frac{139\pi}{12} - a\right)^2 + \left(-\frac{139\pi\sqrt{3}}{12} - a\right)^2} \]

    Ответ: длина языка \(\sqrt{\left(\frac{139\pi}{6} - a\right)^2 + \left(\frac{423\pi^2}{144}\right)}\).

  6. Пирамиды и шары.

    Объём исходной пирамиды \(V_0 = a\). Коэффициент подобия \(k = \frac{1}{2}\). Сумма объёмов: \[ \sum_{n=0}^\infty V_n = a \left(1 + \left(\frac{1}{2}\right)^3 + \left(\frac{1}{2}\right)^6 + \ldots\right) = \frac{a}{1 - \frac{1}{8}} = \frac{8a}{7} \]

    Ответ: \(\frac{8a}{7}\).

  7. Делимость произведения.

    Если \(x + y = 341\), то \(x\) и \(y\) не могут одновременно делиться на простые множители \(341 = 11 \cdot 31\). Предполагается противоречие: \[ x \equiv 0 \ (\text{mod } 11), \quad y \equiv 0 \ (\text{mod } 31) \Rightarrow Противоречие при сумме \]

    Ответ: Нет, 341 не может быть делителем произведения \(x \cdot y\).

Материалы школы Юайти