8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМШ МИЭМ из 10 в 11 класс 2017 год

Сложность:
Дата экзамена: 2017
Печать
youit.school ©

ФМШ МИЭМ


2017 год


Вариант ФМШ 2017-II-11-2



  1. Решите неравенство: \[ \arcsin\lvert x\rvert > \arccos\lvert x\rvert. \]
  2. Сколько воды необходимо долить в \(k\%\)-ый водный раствор активного вещества, чтобы снизить процентное содержание активного вещества в нём в 3 раза? Аналогичный вопрос, если доливается не вода, а \(n\%\)-ый водный раствор того же активного вещества.
  3. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют только одному из следующих условий:
    1. абсцисса больше ординаты;
    2. либо абсцисса, либо ордината больше четырёх;
    3. сумма квадратов ординаты и абсциссы меньше двух.
  4. На одном известном математическом сайте приводится следующая классификация кривых:
    • Кубическая параболическая гипербола \[ y = a x^3 + b x^2 + c x + d, \] where two of the roots of the equation coincide.
    • Кубический эллипс \[ y = a x^3 + b x^2 + c x + d \]
    Какие неточности можно выделить в этих определениях? Корректна ли вообще такая классификация? Ответы обосновать.
  5. Найдите все возможные значения разностей между максимальным и минимальным трёхзначными числами, составленными из одинакового набора трёх цифр, при условии, что из трёх цифр совпадают, а третья отличается от них.
  6. Точка \(M(0;2;1)\) трёхмерного пространства \(XYZ\) делит отрезок \(AB\) в отношении \(4:1\). Точка \(B\) лежит в плоскости, параллельной плоскости \(XOY\), и проходящей через точку \(P(0;0;-1)\). Что представляет из себя геометрическое место точек, в которых может находиться точка \(A\)? Какой может быть длина отрезка \(MN\), если точка \(N\) делит отрезок \(AB\) в отношении \(1:4\)?
  7. Упростите выражение: \[ 1\cdot5\cdot1 \;+\; 2\cdot7\cdot4 \;+\; 3\cdot9\cdot7 \;+\;\dots+\; n\cdot(2n+3)\cdot(3n-2). \]
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решите неравенство: \[ \arcsin|x| > \arccos|x|. \] Решение: Используем равенство $\arcsin a + \arccos a = \frac{\pi}{2}$. Тогда неравенство преобразуется: \[ \arcsin|x| > \frac{\pi}{2} - \arcsin|x| \implies 2\arcsin|x| > \frac{\pi}{2} \implies \arcsin|x| > \frac{\pi}{4}. \] Значит: \[ |x| > \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}. \] Учитывая область определения $\arcsin|x|$ ($|x| \leq 1$), окончательный ответ: \[ \frac{\sqrt{2}}{2} < |x| \leq 1 \implies x \in \left[ -1; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) \cup \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; 1 \right]. \] Ответ: $\left[ -1; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) \cup \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; 1 \right]$.

  2. Сколько воды необходимо долить в $k\%$-ный раствор, чтобы снизить концентрацию в 3 раза?
    Решение (1 случай): Пусть масса исходного раствора $m$. Количество вещества: $\frac{k}{100}m$. После добавления $w$ воды, новая масса: $m + w$. Концентрация: \[ \frac{\frac{k}{100}m}{m + w} = \frac{k}{300} \implies m + w = 3m \implies w = 2m. \] Нужно добавить удвоенную массу исходного раствора воды.

    Решение (2 случай): Пусть добавляют $n\%$-ный раствор массой $m_1$. Тогда: \[ \frac{\frac{k}{100}m + \frac{n}{100}m_1}{m + m_1} = \frac{k}{300} \implies m_1 = m \cdot \frac{2k}{k - 3n}. \] Ответ:
    • Добавить удвоенную массу раствора воды;
    • Добавить $\frac{2k}{k - 3n}$ массы исходного раствора $n\%$-ного раствора ($k >3n$).


  3. Изобразите множество точек, удовлетворяющих только одному из условий:
    Решение:
    1. Область ниже прямой $y = x$;
    2. Объединение $x > 4$ и $y > 4$;
    3. Круг радиусом $\sqrt{2}$ с центром в начале координат.
    Исключаем пересечения данных областей. Множество точек включает:
    • Область ниже $y = x$, не входящую в круг и $x,y \leq4$;
    • Области $x>4$ и $y>4$ вне круга и не пересекающиеся с условием $x > y$;
    • Внутри круга, где не выполняется ни одно другое условие.


  4. Анализ классификации кривых:
    Решение:
    Определения некорректны, так как:
    • Термины "гипербола" и "эллипс" относятся к коникам второго порядка, а не к кубическим кривым;
    • Классификация основана на количестве действительных корней кубического уравнения, но геометрическая форма кубических кривых не соответствует гиперболам или эллипсам;
    • Графики, приведённые в примерах, имеют точки перегиба, что характерно для кубических функций, но не связано с гиперболичностью или эллиптичностью в классическом смысле.


  5. Возможные значения разностей трёхзначных чисел:
    Решение:
    Числа с двумя одинаковыми цифрами ${a, a, b}$: Максимальное число: $\overline{aab} = 100a + 10a + b = 110a + b$; Минимальное число: $\overline{baa} = 100b + 10a + a = 100b + 11a$; Разность: $99(a - b)$. Возможные значения: $\{99, 198, ..., 891\}$ (кратные 99 от 99 до 891). Ответ: $99d$, где $d$ — различие цифр ($1 \leq d \leq9$).

  6. Геометрическое место точек $A$ и длина $MN$:
    Решение:
    Точка $M(0;2;1)$ делит $AB$ в отношении $4:1$, тогда: \[ \overrightarrow{AM} : \overrightarrow{MB} =4:1 \implies A \text{ лежит в плоскости } z = \frac{3}{2}. \] При делении отрезка точкой $N$ в отношении $1:4$, координаты $N$ совпадают с $M$, следовательно, $MN =0$. Ответ:
    • Геометрическое место точек $A$ — плоскость $z = \frac{3}{2}$;
    • $MN =0$.


  7. Упрощение выражения: \[ \sum_{k=1}^{n} k(2k + 3)(3k - 2). \] Решение: Раскроем общий член суммы: \[ k(2k + 3)(3k - 2) = 6k^3 +5k^2 -6k. \] Тогда сумма: \[ 6\sum k^3 +5\sum k^2 -6\sum k. \] Используя формулы сумм: \[ \sum k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2,\quad \sum k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6},\quad \sum k = \frac{n(n+1)}{2}. \] Подставляя: \[ 6\cdot\frac{n^2(n+1)^2}{4} +5\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} -3n(n+1) = \frac{n(n+1)}{6}(9n^2 +19n -13). \] Ответ: $\frac{n(n+1)(9n^2 +19n -13)}{6}$.
Материалы школы Юайти