ФМШ МИЭМ из 10 в 11 класс 2017 год

ФМШ МИЭМ

2017 год

Вариант ФМШ 2017-II-11-1

1. Решите неравенство: \[ \arcsin\lvert x\rvert < \arccos\lvert x\rvert. \]
2. Сколько воды необходимо долить в \(k\%\)-ый водный раствор активного вещества, чтобы снизить процентное содержание активного вещества в нём в 2 раза? Аналогичный вопрос, если доливается не вода, а \(n\%\)-ый водный раствор того же активного вещества.
3. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют только одному из следующих условий:
   1. абсцисса меньше ординаты;
   2. либо абсцисса, либо ордината меньше четырёх;
   3. разность квадрата ординаты и абсциссы меньше двух.
4. На одном известном математическом сайте приводится следующая классификация кривых:
   • Кубическая сплайн \[ y = a x^3 + b x^2 + c x + d, \]
     
   • Кубический эллипс \[ y = a x^3 + b x^2 + c x + d \]
     
   Какие неточности можно выделить в этих определениях? Корректна ли вообще такая классификация? Ответы обосновать.
5. Найдите все возможные значения разности между максимальным и минимальным трёхзначными числами, составленными из одинакового набора трёх цифр, при условии, что все эти три цифры различны.
6. Точка \(M(1;2;0)\) трёхмерного пространства \(XYZ\) делит отрезок \(AB\) в отношении \(1:3\). Точка \(A\) лежит в плоскости, параллельной плоскости \(XOZ\) и проходящей через точку \(P(0;4;0)\). Что представляет собой геометрическое место точек, в которых может находиться точка \(B\)? Какой может быть длина отрезка \(MN\), если точка \(N\) делит отрезок \(AB\) в отношении \(3:1\)?
7. Упростите выражение: \[ 2\cdot4\cdot2 \;+\; 4\cdot5\cdot5 \;+\; 6\cdot6\cdot8 \;+\;\dots+\; 2n\cdot(n+3)\cdot(3n-1). \]

Решения задач

1. Решите неравенство: \[ \arcsin\lvert x\rvert < \arccos\lvert x\rvert. \] Решение:
   Область определения: $\lvert x \rvert \leq 1$.
   Для $\lvert a \rvert \in [0; 1]$ воспользуемся тождеством: \[\arcsin a = \frac{\pi}{2} - \arccos a\]
   Подставим в неравенство: \[ \frac{\pi}{2} - \arccos\lvert x \rvert < \arccos\lvert x \rvert \] \[ \frac{\pi}{2} \frac{\pi}{4} \]
   Решение: $\lvert x \rvert < \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
   Ответ: $x \in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
2. Сколько воды необходимо долить в $k\%$-ный раствор, чтобы снизить концентрацию в 2 раза? Аналогичный вопрос для добавления $n\%$-ного раствора.
   Решение:
   1. Пусть исходная масса раствора $m$. Активного вещества: $0,01k \cdot m$.
      После добавления воды $x$ кг: \[ \frac{0,01k \cdot m}{m + x} = 0,005k \quad \Rightarrow \quad x = m \]
      Ответ: Добавить массу воды, равную исходной массе раствора.
   2. Добавляем $y$ кг $n\%$-ного раствора: \[ \frac{0,01k \cdot m + 0,01n \cdot y}{m + y} = 0,005k \] Решение уравнения: \[ y = \frac{k \cdot m}{k - 2n} \] Ответ: Требуемое количество $n\%$-ного раствора $\frac{k \cdot m}{k - 2n}$ кг при условии $k > 2n$.
3. Изобразите множество точек, удовлетворяющих только одному из условий:
   1. Неравенство $y > x$ исключается в области $y \geq x$ и пересечений с другими условиями.
   2. Объединение $x < 4$ и $y < 4$. Исключаются точки, где одновременно $x \geq 4$ и $y \geq 4$.
   3. Парабола $y^2 < x + 2$. Вычитаем пересечения с другими областями.
   Ответ: Результат представляет собой объединение областей: \[ (y > x \setminus ((x < 4 \cup y < 4) \cap (y^2 < x + 2))) \cup ((x < 4 \cup y x) \cap (y^2 < x + 2))) \cup ((y^2 x) \cup (x < 4 \cup y < 4))) \] Графическое представление требует построения зон исключений для каждого условия.
4. Неточности классификации:
   • Термин «кубическая сплайн» противоречит определению сплайна как кусочно-заданной функции.
   • Название «кубический эллипс» абсурдно, так как эллипс — кривая второго порядка.
   • Неверная интерпретация корней: кубическое уравнение имеет 3 корня (с учётом кратности) или 1.
   Ответ: Классификация некорректна из-за неправильного использования терминов и отсутствия математического обоснования.
5. Возможные разности трёхзначных чисел с разными цифрами:
   Разность максимального и минимального чисел из трёх различных цифр: \[ \text{Макс: }100a + 10b + c; \quad \text{Мин: }100c + 10b + a \] \[ Разность = 99(a - c) \] Возможные значения: $99 \cdot (1 \leq d \leq 9)$, где $d = a - c \geq 1$ (цифры различны). Ответ: Все целые числа, кратные 99, от 198 до 891.
6. Геометрическое место точек $B$:
   Координаты точек: \[ B = (4 - 3x, -4, -3z), \quad A = (x, 4, z) \] Геометрическое место: плоскость $y = -4$.
   Длина $MN$ вычисляется как расстояние между точками: \[ M = \left(\frac{3x + B_x}{4}, \frac{12 + B_y}{4}, \frac{3z + B_z}{4}\right), \quad N = \left(\frac{x + 3B_x}{4}, \frac{4 + 3B_y}{4}, \frac{z + 3B_z}{4}\right) \] Расстояние $MN$ постоянно и равно $|\overrightarrow{AB}| \cdot \frac{1}{2}$.
   Ответ: Геометрическое место — плоскость $y = -4$, возможная длина $MN$ — $\frac{\sqrt{(3x)^2 + (3(z + \frac{4}{3}))^2}}{2}$.
7. Упрощение выражения: \[ \sum_{k=1}^n 2k(k+3)(3k-1) = \sum_{k=1}^n (6k^3 + 16k^2 - 6k) \] \[ = 6 \cdot \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 + 16 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 6 \cdot \frac{n(n+1)}{2} \] Упрощение: \[ = \frac{3n^2(n+1)^2}{2} + \frac{8n(n+1)(2n+1)}{3} - 3n(n+1) \] Ответ: $\frac{n(n+1)}{6} \left(9n(n+1) + 16(2n+1) - 18\right)$.