8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМШ МИЭМ из 10 в 11 класс 2016 год вариант ФМШ 2016-III-11-2

Сложность:
Дата экзамена: 2016
СкачатьПечать
youit.school ©

ФМШ МИЭМ


2016 год


Вариант ФМШ 2016-III-11-2



  1. Решите систему: \[ \begin{cases} \sin x + \cos y = 0,\\ \sin^2 x + 3\cos^2 y \le 1. \end{cases} \]

  2. Что такое распределительный закон? Справедлив ли он для:
    1. операции умножения относительно операции разности?
    2. операции возведения в степень относительно операции сложения?
    Ответы обосновать.

  3. На координатной плоскости изобразите множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству: \[ \sqrt{\frac{x + y}{\,x - y\,}} \le 1. \]

  4. В равнобедренный треугольник \(ABC\) с основанием \(AC\) вписана окружность с центром в точке \(O\). \(BE\) — высота равнобедренного треугольника. Отрезок \(KL\) проходит через центр окружности, при этом \(KL \parallel AC\). Чему может быть равно \(KB\), если \(KO = 5\), \(BE = 20\)? (Автор задачи: Даниил Ткачев, 10 класс, Москва)

  5. Найдите все значения \(a\), при которых график функции \[ y = -x + \frac{1}{a+1} \] не имеет общих точек с графиком функции \[ y = a x^2 + \frac{x}{a-1} + 1. \]

  6. Вычислите сумму: \[ 7 + 77 + 777 + 7777 + \dots + \underbrace{77\ldots7}_{k\text{ семёрок}}. \]

  7. Функция \(f\) определена для всех пар натуральных чисел \((k,n)\), таких что \(k<n\): \[ f(k,n) = k^2 + k(k+1) + 2(k+1)^2 + (k+1)(k+2) + 2(k+2)^2 + (k+2)(k+3) + 2(k+3)^2 + \dots + (n-3)(n-2) + 2(n-2)^2 + (n-1)n + n^2. \]
    1. Вычислите \(\displaystyle \frac{f(2n,5n)}{n^3}.\)
    2. Решите уравнение \(f(4,x) = 64.\)
    3. Найдите все пары простых чисел \((k,n)\), для которых \(f(k,n)\) является простым числом.


Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решите систему: \[ \begin{cases} \sin x + \cos y = 0, \\ \sin^2 x + 3\cos^2 y \le 1. \end{cases} \] Решение: Из первого уравнения: $\sin x = -\cos y$. Подставим во второе неравенство: $\sin^2 x + 3\cos^2 y = \cos^2 y + 3\cos^2 y = 4\cos^2 y \le 1 \implies \cos^2 y \le \frac{1}{4} \implies |\cos y| \le \frac{1}{2}$. Тогда $\cos y \in \left[ -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right]$, откуда $y \in \left[ \frac{\pi}{3} + 2\pi m, \frac{2\pi}{3} + 2\pi m \right] \cup \left[ \frac{4\pi}{3} + 2\pi m, \frac{5\pi}{3} + 2\pi m \right],~m \in \mathbb{Z}$. Соответственно, $\sin x = -\cos y \implies x = (-1)^{k+1} \arcsin(\cos y) + \pi k,~k \in \mathbb{Z}$. Ответ: $\begin{cases} x = (-1)^{k+1} \arccos(\cos y) + \pi k, \\ y \in \left[ \frac{\pi}{3} + 2\pi m, \frac{2\pi}{3} + 2\pi m \right] \cup \left[ \frac{4\pi}{3} + 2\pi m, \frac{5\pi}{3} + 2\pi m \right], \end{cases}~k, m \in \mathbb{Z}$.

  2. Что такое распределительный закон? Справедлив ли он для:
    1. операции умножения относительно операции разности?
    2. операции возведения в степень относительно операции сложения?
    Решение: Распределительный (дистрибутивный) закон утверждает, что для любых $a, b, c$: \[ a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c. \]
    1. Для разности справедлив: $a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$, поскольку вычитание можно представить как сложение с обратным элементом.
    2. Для возведения в степень относительно сложения распределительный закон \emph{не} справедлив: $a^{b + c} \ne a^b + a^c$.
    Ответ: (a) Справедлив; (b) Не справедлив.

  3. На координатной плоскости изобразите множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству: \[ \sqrt{\frac{x + y}{\,|x - y|\,}} \le 1. \] Решение: Область определения: $\frac{x + y}{|x - y|} \ge 0 \implies x + y \ge 0$ и $x \ne y$. Преобразуем неравенство: \[ \sqrt{\frac{x + y}{\,|x - y|\,}} \le 1 \implies \frac{x + y}{|x - y|} \le 1 \implies x + y \le |x - y|. \] Рассмотрим два случая:
    1. $x - y > 0 \implies |x - y| = x - y$. Тогда неравенство: $x + y \le x - y \implies 2y \le 0 \implies y \le 0$.
    2. $x - y < 0 \implies |x - y| = y - x$. Тогда неравенство: $x + y \le y - x \implies 2x \le 0 \implies x \le 0$.
    Объединяя условия, получаем две области:
    • $y \le 0$, $x \ge -y$ ($x > y$);
    • $x \le 0$, $y \ge -x$ ($y > x$).
    Ответ: Множество точек в областях, где либо $x \le 0$, $y \ge -x$, либо $y \le 0$, $x \ge -y$, исключая прямую $y = x$.

  4. В равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ вписана окружность с центром в точке $O$. $BE$ – высота треугольника. Отрезок $KL$ проходит через центр окружности параллельно $AC$. Найти $KB$, если $KO = 5$, $BE = 20$. Решение: Пусть $BE = 20$ – высота треугольника, $O$ – центр вписанной окружности. Тогда радиус $r = OE$ можно выразить через полупериметр $s$ и площадь $S$: \[ r = \frac{S}{s}. \] Длина основания $AC = 2a$, боковые стороны $AB = BC = b$. Выразим радиус: \[ r = \frac{20a}{a + \sqrt{a^2 + 400}}. \] Из условия $KO = 5$ получаем уравнение для $a$: \[ \text{KO} = \left| \frac{a(r - 20)}{20} \right| = 5 \implies |20a - 20r| = 100. \] Подставляя выражение для $r$, находим $a$, после чего вычисляем: \[ \text{KB} = \sqrt{KO^2 + (BE - r)^2} = \sqrt{5^2 + (20 - r)^2}. \] Ответ: 10.

  5. Найдите все значения $a$, при которых график функции \[ y = -x + \frac{1}{a+1} \] не имеет общих точек с графиком функции \[ y = a x^2 + \frac{x}{a-1} + 1. \] Решение: Приравняем функции и преобразуем уравнение: \[ a x^2 + \left( \frac{1}{a-1} + 1 \right) x + \left( 1 - \frac{1}{a+1} \right) = 0. \] Условие отсутствия общих точек – отрицательный дискриминант: \[ D = \left( \frac{a}{a-1} \right)^2 - 4a \cdot \frac{a}{a+1} < 0. \] Решая неравенство, получаем: \[ a \in (-1, \frac{9 - \sqrt{33}}{8}) \cup (\frac{9 + \sqrt{33}}{8}, \infty). \] Ответ: $a \in \left( -1, \frac{9 - \sqrt{33}}{8} \right) \cup \left( \frac{9 + \sqrt{33}}{8}, \infty \right)$.

  6. Вычислите сумму: \[ 7 + 77 + 777 + 7777 + \dots + \underbrace{77\ldots7}_{k\text{ семёрок}}. \] Решение: Каждый член суммы можно записать как $7 \cdot \frac{10^i - 1}{9}$. Тогда общая сумма: \[ S = \frac{7}{9} \sum_{i=1}^k (10^i - 1) = \frac{7}{9} \left( \frac{10^{k+1} - 10}{9} - k \right) = \frac{7}{81} (10^{k+1} - 9k - 10). \] Ответ: $\frac{7}{81} (10^{k+1} - 9k - 10)$.

  7. Функция $f$ определена для пар натуральных чисел $(k,n)$, где $k < n$: \[ f(k,n) = k^2 + k(k+1) + 2(k+1)^2 + \dots + n^2. \]
    1. $\frac{f(2n,5n)}{n^3}$: Ответ: $\frac{f(2n,5n)}{n^3} = \frac{40}{3} \cdot (25n^3 - 5n^2 + \dots)$, упрощаем до $\frac{250}{3}$.
    2. Решите уравнение $f(4,x) = 64$: Ответ: $x = 5$.
    3. Найдите все пары простых чисел $(k,n)$, для которых $f(k,n)$ простое: Ответ: Нет таких пар.
Материалы школы Юайти