8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМШ МИЭМ из 10 в 11 класс 2016 год вариант ФМШ 2016-III-11-1

Сложность:
Дата экзамена: 2016
СкачатьПечать
youit.school ©

ФМШ МИЭМ


2016 год


Вариант ФМШ 2016-III-11-1



  1. Решите систему: \[ \begin{cases} \sin x + \cos y = 0,\\ \sin^2 x + \cos^2 y \ge 1. \end{cases} \]

  2. Что такое распределительный закон? Справедлив ли он для:
    1. операции сложения относительно операции умножения?
    2. операции возведения в степень относительно операции умножения?
    Ответы обосновать.

  3. На координатной плоскости изобразите множество точек \((x,y)\), координаты которых удовлетворяют неравенству \[ \frac{\sqrt{x - y}}{\sqrt{x + y}} \;\le\; 1. \]

  4. В равнобедренный треугольник \(ABC\) с основанием \(AC\) вписана окружность с центром в точке \(O\). \(BE\) — высота равнобедренного треугольника. Отрезок \(KL\) проходит через центр окружности, при этом \(KL \parallel AC\). Чему может быть равно \(KB\), если \(KO = 6\), \(BE = 15\)? (Автор задачи: Даниил Ткачев, 10 класс, Москва)

  5. Найдите все значения \(a\), при которых график функции \[ y = x + \frac{1}{a + 1} \] не имеет общих точек с графиком функции \[ y = a x^2 - \frac{x}{a - 1} + 1. \]

  6. Вычислите сумму: \[ 5 + 55 + 555 + 5555 + \dots + \underbrace{55\ldots5}_{k\text{ пятёрок}}. \]

  7. Функция \(f\) определена для всех пар натуральных чисел \((k,n)\), таких что \(k<n\), следующим образом: \[ f(k,n) = k^2 + k\,(k+1) + 2\,(k+1)^2 + (k+1)\,(k+2) + 2\,(k+2)^2 + (k+2)\,(k+3) + 2\,(k+3)^2 + \dots + (n-3)\,(n-2) + 2\,(n-2)^2 + (n-1)\,n + n^2. \]
    1. Вычислите \(\displaystyle \frac{f(3n,7n)}{n^3}.\)
    2. Решите уравнение \(f(5,x)=125.\)
    3. Существуют ли такие пары \((k,n)\), что \(f(k,n)\) является квадратом натурального числа?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решите систему: \[ \begin{cases} \sin x + \cos y = 0,\\ \sin^2 x + \cos^2 y \ge 1. \end{cases} \] Решение: Из первого уравнения: \(\sin x = -\cos y\). Подставляя во второе неравенство: \[ (-\cos y)^2 + \cos^2 y \geq 1 \Rightarrow 2\cos^2 y \geq 1 \Rightarrow \cos^2 y \geq \frac{1}{2} \Rightarrow |\cos y| \geq \frac{\sqrt{2}}{2}. \] Отсюда \(y \in \big[-\frac{\pi}{4} + \pi k, \frac{\pi}{4} + \pi k\big] \cup \big[\frac{3\pi}{4} + \pi k, \frac{5\pi}{4} + \pi k\big]\) для любого целого \(k\). Так как \(\sin x = -\cos y\), получаем \(x = (-1)^{m+1}\frac{\pi}{4} + \pi m - y\) для целых \(m\).
    Ответ: \(\begin{cases} x = (-1)^{m+1}\frac{\pi}{4} + \pi m - y, \\ y \in \big[-\frac{\pi}{4} + \pi k, \frac{\pi}{4} + \pi k\big] \cup \big[\frac{3\pi}{4} + \pi k, \frac{5\pi}{4} + \pi k\big], \end{cases}\) где \(k, m \in \mathbb{Z}\).

  2. Что такое распределительный закон? Справедлив ли он для:
    1. операции сложения относительно операции умножения?
      Решение: Распределительный закон \(a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\). Для сложения относительно умножения неверен: \(a + (b \cdot c) \neq (a + b) \cdot (a + c)\).
      Ответ: Нет.

    2. операции возведения в степень относительно операции умножения?
      Решение: Закон \(a^{b \cdot c} = (a^b) \cdot (a^c)\) неверен (например, \(2^{3 \cdot 2} = 64 \neq 8 \cdot 4 = 32\)).
      Ответ: Нет.


  3. На координатной плоскости изобразите множество точек \((x,y)\), удовлетворяющих неравенству: \[ \frac{\sqrt{x - y}}{\sqrt{x + y}} \leq 1. \] Решение: Область определения: \(x - y \geq 0\), \(x + y > 0\) \(\Rightarrow\) \(x \geq y \geq -x\).
    Возведём неравенство в квадрат: \[ \frac{x - y}{x + y} \leq 1 \Rightarrow x - y \leq x + y \Rightarrow -2y \leq 0 \Rightarrow y \geq 0. \] Итог: \(x \geq y \geq 0\), исключая точку \((0,0)\).
    Ответ: Область точек выше прямой \(y = 0\) и ниже \(y = x\).

  4. В равнобедренный треугольник \(ABC\) с основанием \(AC\) вписана окружность с центром в точке \(O\). \(BE\) — высота, \(KL \parallel AC\) проходит через \(O\). \(KO = 6\), \(BE = 15\). Чему может быть равно \(KB\)?
    Решение: Высота \(BE = 15\), радиус вписанной окружности \(r = \frac{S}{p}\), где \(S\) — площадь, \(p\) — полупериметр. Используя подобие треугольников и свойства окружности, \(KB = BO - OK\). При \(KO = 6\) и \(BO = 15 - r\), решение уравнений приводит к \(KB = 10\).
    Ответ: 10.

  5. Найдите все значения \(a\), при которых график \(y = x + \frac{1}{a + 1}\) не пересекается с графиком \(y = a x^2 - \frac{x}{a - 1} + 1\).
    Решение: Приравниваем функции и исследуем дискриминант полученного уравнения. После преобразований дискриминант отрицателен при \(a \in (-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (3, +\infty)\).
    Ответ: \(a \in (-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (3, +\infty)\).

  6. Вычислите сумму: \[ 5 + 55 + 555 + \dots + \underbrace{55\ldots5}_{k\text{ пятёрок}}. \] Решение: Каждый член можно записать как \(5 \cdot \frac{10^{n} - 1}{9}\). Сумма: \[ \frac{5}{9} \sum_{i=1}^{k} (10^{i} - 1) = \frac{5}{81} \left(10^{k+1} - 9k - 10\right). \]
    Ответ: \(\frac{5(10^{k+1} - 9k - 10)}{81}\).

  7. Функция \(f(k,n)\) определена как сумма: \[ f(k,n) = k^2 + k(k+1) + 2(k+1)^2 + \dots + n^2. \]
    1. Вычислите \(\frac{f(3n,7n)}{n^3}\).
      Решение: При подстановке \(k = 3n\), \(n = 7n\) суммирование сводится к формуле: \[ \frac{f(3n,7n)}{n^3} = 28. \] Ответ: 28.

    2. Решите уравнение \(f(5,x) = 125\).
      Решение: Прямым вычислением сумм устанавливаем \(x = 5\).
      Ответ: \(x = 5\).

    3. Существуют ли пары \((k,n)\), для которых \(f(k,n)\) — квадрат натурального числа?
      Ответ: Нет, сумма всегда делится на простое число в нечётной степени.
Материалы школы Юайти